部分積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分).

( log2x ) 3 dx  

■答

x ( log2x ) 3 3x ( log2x ) 2 +6x( log2x ) 6x+C    Cは積分定数)

■ヒント

部分積分法

f ( x ) g ( x ) d x = f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) d x  

を用いる.


■解説

x =1 より

f( x )=x g( x )= ( log2x ) 3

として部分積分を行う.

( log2x ) 3 dx  

= x ( log2x ) 3 dx  (この式は公式の左辺の f ( x )g( x )dxに対応する)

=x ( log2x ) 3 x { ( log2x ) 3 } dx  

(この式は公式の右辺の =f( x )g( x ) f( x ) g ( x )dx に対応する)

=x ( log2x ) 3 x3 ( log2x ) 2 1 2x 2 dx  

=x ( log2x ) 3 3 ( log2x ) 2 dx  

ここで, ( log2x ) 2 dx の計算を行う.先程と同じように

x =1 より

f( x )=x  , g( x )= ( log2x ) 2

として部分積分を行う.

( log2x ) 2 dx  

= x ( log2x ) 2 dx  (この式は公式の左辺の f ( x ) g ( x ) d x に対応する)

= x ( log 2 x ) 2 x { ( log 2 x ) 2 } d x  

(この式は公式の右辺の f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) d x に対応する)

= x ( log 2 x ) 2 x 2 ( log 2 x ) 1 2 x 2 d x  

となる.

さらに,ここで, ( log2x )dx の計算を行う.また先程と同じように

x =1  より

f( x )=x  , g( x )=( log2x )

として部分積分を行う.

( log2x )dx  

= x ( log2x ) dx  (この式は公式の左辺の f ( x )g( x )dxに対応する)

=x( log2x ) x { ( log2x ) } dx  

(この式は公式の右辺の f( x )g( x ) f( x ) g ( x )dx に対応する)

=x( log2x ) x 1 2x 2 dx  

=x( log2x ) dx  

=x( log2x )x+C  

となる.

最後に,これまでに求めたものを順に代入する.

( log2x ) 3 dx =x ( log2x ) 3 3[ x ( log2x ) 2 2{ x( log2x )x } ]+C  

= x ( log2x ) 3 3x ( log2x ) 2 +6x( log2x )6x+C

 

■確認問題

求まった答え x ( log2x ) 3 3x ( log2x ) 2 +6x( log2x ) 6x+C を微分し,積分前の式 ( log2x ) 3 に戻ることを確認しなさい.


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最終更新日: 2023年11月23日