対数不等式の問題

■問題

次の不等式を解け

( log 3 x ) 2 5 log 3 9x<4

■答

9<x<27

■解説

( log 3 x ) 2 5 log 3 9x <4

ここで,与式の 5 log 3 9x 対数計算の基本を用いて式を簡単にする.

5 log 3 9x =5 log 3 x+ log 3 9 =5 log 3 x+2 log 3 3 =5 log 3 x+2

よって

( log 3 x ) 2 5 log 3 x+2 log 3 3 <4

( log 3 x ) 2 5 log 3 x+6 <0

log 3 x=t とおく

t 2 5t+6 <0

( t2 )( t3 ) <0

2<t<3

t log 3 x に戻す.

2 < log 3 x <3

ここで

2 = log 3 3 2 = log 3 9

3 = log 3 3 3 = log 3 27

より

2 log 3 3 < log 3 x <3 log 3 3

log 3 9 < log 3 x < log 3 27

底が31より大きい.よって,真数を比較すると以下のようになる.

9 <x <27

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作成:学生スタッフ

最終更新日: 2023年11月28日