重積分の基礎

■問題

次の重積分の値を求めよ.

D 2xcosydxdy    ( D:0x π 2 , π 6 y π 2 )

■答

π 2 8

■ヒント

領域 D より変数 x と変数 y の積分範囲を決定する.

x を定数とみなして y について積分し,その結果を更に x で積分する.

■解説

D 2xcosydxdy

領域 D より変数 x と変数 y 積分範囲を決定する.

= 0 π 2 { π 6 π 2 2xcosydy }dx

まず, π 6 π 2 2xcosydy の計算をする. x を定数とみなして y について積分する. 

= 0 π 2 [ 2xsiny ] π 6 π 2 dx

= 0 π 2 ( 2xsin π 2 2xsin π 6 )dx

= 0 π 2 ( 2x·12x· 1 2 )dx

= 0 π 2 ( 2xx )dx

= 0 π 2 xdx

積分結果を更に x で積分する.

= [ 1 2 x 2 ] 0 π 2

= 1 2 · ( π 2 ) 2 1 2 · 0 2

= π 2 8 0

= π 2 8

 

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学生スタッフ作成

最終更新日: 2023年8月2日