重積分の計算問題

■問題

次の重積分の値を求めよ.

D ( x+y )dxdy    ( D: x 3 +y2,x0,y0 )

■答

16

■ヒント

領域 D より変数 x と変数 y の積分範囲を決定する.

次に, x を定数とみなして y について積分し,その結果を更に x で積分する.

■解説

領域 D より

x 3 +y 2

y x 3 +2

y0 を考慮すると

0y x 3 +2

これを満たす x の条件は

x 3 +2 0

x 3 2

x 6

x0 を考慮すると

0x6

以上から領域 D

D:0x6,0y x 3 +2

となるので

D ( x + y ) d x d y

= 0 6 ( 0 x 3 + 2 ( x + y ) d y ) d x

x を定数とみなして y について積分する. 

= 0 6 [ x y + 1 2 y 2 ] 0 x 3 + 2 d x

= 0 6 { x · ( x 3 + 2 ) + 1 2 ( x 3 + 2 ) 2 ( x · 0 + 1 2 · 0 ) } d x

= 0 6 { 1 3 x 2 + 2 x + 1 2 ( 1 9 x 2 4 3 x + 4 ) 0 } d x

= 0 6 { 1 3 x 2 + 2 x + 1 18 x 2 2 3 x + 2 } d x

= 0 6 { ( 6 + 1 18 ) x 2 + ( 6 2 3 ) x + 2 } d x

= 0 6 { 5 18 x 2 + 4 3 x + 2 } d x

更に x で積分する. 

= [ 5 54 x 3 + 2 3 x 2 + 2 x ] 0 6

= 5 54 · 6 3 + 2 3 · 6 2 + 2 · 6 ( 5 54 · 0 3 2 3 · 0 2 + 2 · 0 )

= 5 · 216 54 + 2 · 36 3 + 12 0

= 5 · 4 + 2 · 12 + 12

= 20 + 24 + 12

= 16

 

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最終更新日: 2023年8月3日