重積分の計算問題

■問題

次の重積分の値を求めよ.

D ( 2xy+3 y 2 )dxdy    ( D: x 2 yx )

■答

4 21

■ヒント

はじめに領域 D を作図し, x y の積分範囲を決定する.

次に, x を定数とみなして y について積分し,その結果を更に x で積分する.

■解説

領域 D

x 2 yx

であることより

曲線   y= x 2  ・・・・・・(1)

直線   y=x  ・・・・・・(2)

で囲まれた領域である. (1),(2) の交点を求めると,

x 2 = x

x 2 x = 0

x ( x 1 ) = 0

x=0,1

y=x の関係から交点は ( 0,0 ),( 1,1 ) の2点となる.

領域 D を作図すると図のようになる.

q3-3

これより積分範囲を決定すると

D ( 2 x y + 3 y 2 ) d x d y

= 0 1 ( x 2 x ( 2 x y + 3 y 2 ) d y ) d x

まず, x 2 x 2xy+3 y 2 dy を計算する. x を定数とみなして y について積分する. 

= 0 1 [ x y 2 + y 3 ] x 2 x d x

= 0 1 [ x · x 2 + x 3 { x · ( x 2 ) 2 + ( x 2 ) 3 } ] d x

指数法則を利用する. 

= 0 1 { x 3 + x 3 ( x · x 4 + x 6 ) } d x

更に x で積分する. 

= 0 1 { 2 x 3 ( x 5 + x 6 ) } d x

= 0 1 ( 2 x 3 x 5 x 6 ) d x

= 0 1 ( x 6 x 5 + 2 x 3 ) d x

= [ 1 7 x 7 1 6 x 6 + 1 2 x 4 ] 0 1

= 1 7 · 1 7 1 6 · 1 6 + 1 2 · 1 4

( 1 7 · 0 7 1 6 · 0 6 + 1 2 · 0 4 )

= 1 7 1 6 + 1 2

= 6 7 + 21 42

= 8 42

= 4 21

 

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最終更新日: 2023年8月3日