重積分の基礎

■問題

次の重積分の値を求めよ.

D e x sinydxdy     ( D:0x1,0yπx )

■答

e+1 1+ π 2 +e1

■ヒント

領域 D から変数 x と変数 y の積分範囲を決定する.

次に, x を定数とみなして y について積分し,その結果を更に x で積分する.

I= e x sinxdx I= e x cosxdx 部分積分を使う.

■解き方

D e x sinydxdy

= 0 1 0 πx e x sinydy dx

= 0 1 e x [ cosy ] 0 πx dx

= 0 1 e x cosπxdx + 0 1 e x dx

= 0 1 e x cosπxdx + [ e x ] 0 1

= 0 1 e x cosπxdx +e 1  ・・・・・・(1)

= 0 1 e x ( 1 π sinπx ) dx+e1

= 1 π { [ e x sinπx ] 0 1 0 1 e x sinπxdx }+e1

= 1 π ( 0 1 e x sinπxdx )+e1

= 1 π 0 1 e x sinπxdx+e1

= 1 π 0 1 e x ( 1 π cosπx ) dx+e1

= 1 π 2 { [ e x coxπx ] 0 1 0 1 e x cosπxdx }+e1

= 1 π 2 { ( e1 ) 0 1 e x cosπxdx }+e1

= 1 π 2 ( e+1 )+ 1 π 2 0 1 e x cosπxdx+e1  ・・・・・・(2)

ここで, I= 0 1 e x cosπxdx とおくと,(1),(2)より

I+e1 = 1 π 2 ( e+1 )+ 1 π 2 I+e1  ・・・・・・(3)

が得られる.(3)を I について解く

( 1+ π 2 π 2 )I= 1 π 2 ( e+1 )

I= 1 1+ π 2 ( e+1 )

よって

D e x sinydxdy = I+e1

= e+1 1+ π 2 +e1

 

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最終更新日: 2023年10月19日