L { df( t ) dt }=sF( s )−f( 0 )
L { −tf( t ) }= dF( s ) ds
ただし， L f t =F s
整数 n≧1 のとき
L { f ( n ) ( t ) } = s n F ( s ) − s n − 1 f ( 0 ) + s n − 2 f ( 1 ) ( 0 ) + ⋯ + s f ( n − 2 ) ( 0 ) + f ( n − 1 ) ( 0 ) }
L { ( −t ) n f( t ) }= F ( n ) ( s )
L { df( t ) dt } = ∫ 0 ∞ e −st df( t ) dt dt
部分積分を用いると
= [ f( t ) e −st ] 0 ∞ − ∫ 0 ∞ d dt { e −st }f( t )dt
= [ f( t ) e −st ] 0 ∞ − ∫ 0 ∞ ( −s e −st )f( t )dt
=−f( 0 )+s ∫ 0 ∞ e −st f( t )dt
=−f( 0 )+sF( s )
=sF( s )−f( 0 )
dF( s ) ds = d ds { ∫ 0 ∞ e −st f( t )dt }
= ∫ 0 ∞ d ds ( e −st ) f( t )dt
= ∫ 0 ∞ ( −t e −st ) f( t )dt
=− ∫ 0 ∞ e −st { tf( t ) }dt
=−L { tf( t ) }
よって
L { −tf( t ) } = dF( s ) ds
L f n t =L d dt f n−1 t
=sL f n−1 t − f n−1 0
=sL d dt f n−2 t − f n−1 0
=s sL f n−2 t − f n−2 0 − f n−1 0
= s 2 L f n−2 t − s f n−2 0 + f n−1 0
= s 2 L d dt f n−3 t − s f n−2 0 + f n−1 0
= s 2 sL f n−3 t − f n−3 0 − s f n−2 0 + f n−1 0
= s 3 L f n−3 t − s 2 f n−3 0 +s f n−2 0 + f n−1 0
⋯
= s n L f t − s n−1 f 0 + s n−2 f 1 0 +⋯+s f n−2 0 + f n−1 0
= s n F s − s n−1 f 0 + s n−2 f 1 0 +⋯+s f n−2 0 + f n−1 0
L −t n f t =L −t −t n−1 f t
= d ds L −t n−1 f t
= d ds L −t −t n−2 f t
= d ds d ds L −t n−2 f t
= d 2 d s 2 L −t n−2 f t
= d 3 d s 3 L −t n−3 f t
= d n−1 d s n−1 L −tf t
= d n d s n L f t
= d n d s n F s
= F n s
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最終更新日： 2024年8月24日