部分積分法

【不定積分】

• ${\displaystyle \int f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)dx=f\left(x\right)g\left(x\right)}$
• ${\displaystyle -\int f^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)dx}$

【定積分】

• ${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)dx={\left[f\left(x\right)g\left(x\right)\right]}_a^b}$
• ${\displaystyle -{\int }_a^b{f}^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)dx}$

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${\displaystyle f\left(x\right)}$  と${\displaystyle g\left(x\right)}$ の関係を逆にした表現もよくある．

【不定積分】

• ${\displaystyle \int f^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)dx=f\left(x\right)g\left(x\right)}$
• ${\displaystyle -\int f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)dx}$

【定積分】

• ${\displaystyle {\int }_a^b{f}^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)dx={\left[f\left(x\right)g\left(x\right)\right]}_a^b}$
• ${\displaystyle -{\int }_a^{b}f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)dx}$

■関連動画

■利用上のポイント

関数の積の積分において，その一方が微分すると簡単になるときに有効である．

部分積分法を使った計算例は，ここにいくつか掲載している．

部分積分を行うと以下に示す特殊な場合がある．

• 部分積分を行うと，右辺に左辺と同じ積分が現れる場合⇒積分例

• 部分積分を行うと漸化式となる場合⇒積分例1，積分例2

■部分積分法の公式の導出

関数の積の微分の公式

${\displaystyle {\left\{f\left(x\right)g\left(x\right)\right\}}^{\prime }=f^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)+f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)}$

の両辺を積分し，式を整理すると，

• ${\displaystyle $ {\displaystyle \int {\left\{f\left(x\right)g\left(x\right)\right\}}^{\prime }dx=\int \{f^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)}$}$
• ${\displaystyle +f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)\}dx}$

• ${\displaystyle f\left(x\right)g\left(x\right)=\int f^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)dx}$
• ${\displaystyle +\int f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)dx}$

• ${\displaystyle \int f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)dx=f\left(x\right)g\left(x\right)}$
• ${\displaystyle -\int f^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)dx}$

となり，部分積分法の公式が求まる．

 

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最終更新日： 2024年2月16日