部分積分法
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部分積分法

不定積分

f ( x ) g ( x )dx=f ( x )g ( x ) f ( x ) g ( x )dx

定積分

a b f ( x ) g ( x )dx = [ f ( x )g ( x ) ] a b a b f ( x )g ( x )dx


f( x )  と g( x )  の関係を逆にした表現もよくある.

不定積分

f ( x ) g ( x )dx=f ( x )g ( x ) f ( x ) g ( x )dx

定積分

a b f ( x )g ( x )dx = [ f ( x )g ( x ) ] a b a b f ( x ) g ( x )dx

■利用上のポイント

関数の積の積分において,その一方が微分すると簡単になるときに有効である.

部分積分法を使った計算例は,ここにいくつか掲載している.

部分積分を行うと以下に示す特殊な場合がある.

  • 部分積分を行うと,右辺に左辺と同じ積分が現れる場合積分例

  • 部分積分を行うと漸化式となる場合積分例1積分例2

■部分積分法の公式の導出

関数の積の微分の公式

{ f( x )g( x ) } = f ( x )g( x )+f( x ) g ( x )

の両辺を積分し,式を整理すると,

{ f( x )g( x ) } dx = { f ( x )g( x )+f( x ) g ( x ) }dx f( x )g( x )= f ( x )g( x ) dx+ f( x ) g ( x )dx f( x ) g ( x )dx =f( x )g( x ) f ( x )g( x ) dx

となり,部分積分法の公式が求まる.

 

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最終更新日: 2013年8月6日

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