∫ e 2x sinxdx
部分積分法を用いて計算する．
=∫ ( 1 2 e 2x ) ′ sinxdx
= 1 2 e 2x sinx−∫ 1 2 e 2x ( sinx ) ′ dx
= 1 2 e 2x sinx−∫ 1 2 e 2x cosxdx
= 1 2 e 2 x sin x − 1 2 ∫ e 2 x cos x d x ･･････(1)
右辺の ∫ e 2x cosxdx も同様に部分積分法を用いて計算すると
∫ e 2x cosxdx
=∫ ( 1 2 e 2x ) ′ cosxdx
= 1 2 e 2x cosx−∫ 1 2 e 2x ( cosx ) ′ dx
= 1 2 e 2x cosx−∫ 1 2 e 2x ( −sinx )dx
= 1 2 e 2x cosx+ 1 2 ∫ e 2x sinxdx ･･････(2)
(2)を(1)に代入すると
∫ e 2x sinxdx = 1 2 e 2x sinx− 1 2 ( 1 2 e 2x cosx+ 1 2 ∫ e 2x sinxdx )
∫ e 2x sinxdx の積分が右辺にも現れている．
∫ e 2x sinxdx =I とおいて， I について解くと
I= 1 2 e 2x sinx− 1 2 ( 1 2 e 2x cosx+ 1 2 I )
I= 1 2 e 2x sinx− 1 4 e 2x cosx− 1 4 I
( 1+ 1 4 )I= e 2x 4 ( 2sinx−cosx )
5 4 I= e 2x 4 ( 2sinx−cosx )
I= e 2x 5 ( 2sinx−cosx )
したがって
∫ e 2 x sin x d x = e 2 x 5 ( 2 sin x − cos x ) + C
ただし， Cは定数
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最終更新日：2023年10月4日