積分 {e^(2x)}sinx

e 2x sinxdx

部分積分法を用いて計算する. 

= ( 1 2 e 2x ) sinxdx

= 1 2 e 2x sinx 1 2 e 2x ( sinx ) dx

= 1 2 e 2x sinx 1 2 e 2x cosxdx

= 1 2 e 2 x sin x 1 2 e 2 x cos x d x  ・・・・・・(1)

右辺の e 2x cosxdx  も同様に部分積分法を用いて計算すると

e 2x cosxdx  

= ( 1 2 e 2x ) cosxdx  

= 1 2 e 2x cosx 1 2 e 2x ( cosx ) dx  

= 1 2 e 2x cosx 1 2 e 2x ( sinx )dx  

= 1 2 e 2x cosx+ 1 2 e 2x sinxdx  ・・・・・・(2)

(2)を(1)に代入すると

e 2x sinxdx = 1 2 e 2x sinx 1 2 ( 1 2 e 2x cosx+ 1 2 e 2x sinxdx )

e 2x sinxdx  の積分が右辺にも現れている.

e 2x sinxdx =I  とおいて, I  について解くと

I= 1 2 e 2x sinx 1 2 ( 1 2 e 2x cosx+ 1 2 I )  

I= 1 2 e 2x sinx 1 4 e 2x cosx 1 4 I  

( 1+ 1 4 )I= e 2x 4 ( 2sinxcosx )  

5 4 I= e 2x 4 ( 2sinxcosx )  

I= e 2x 5 ( 2sinxcosx )  

したがって

e 2 x sin x d x = e 2 x 5 ( 2 sin x cos x ) + C

ただし, Cは定数 

 

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最終更新日:2023年10月4日