ラプラス変換の線形性

${\displaystyle a}$  , ${\displaystyle b}$ を実数の定数とすると

${\displaystyle \mathcal{L}\left\{af\left(t\right)\right\}=a\mathcal{L}\left\{f\left(t\right)\right\}}$

${\displaystyle \mathcal{L}\left\{a{f}_1\left(t\right)+b{f}_2\left(t\right)\right\}}$${\displaystyle =a\mathcal{L}\left\{f_1\left(t\right)\right\}+b\mathcal{L}\left\{f_2\left(t\right)\right\}}$

の2式が成り立ち，ラプラス変換は線形性を持つ．

■証明

${\displaystyle \mathcal{L}\left\{af\left(t\right)\right\}={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}\left\{af\left(t\right)\right\}dt}$

${\displaystyle =a{\int }_0^{\infty }{e}^{-st}f\left(t\right)dt}$

${\displaystyle =a\mathcal{L}\left\{f\left(t\right)\right\}}$

${\displaystyle \mathcal{L}\left\{a{f}_1\left(t\right)+b{f}_2\left(t\right)\right\}}$${\displaystyle ={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}\left\{a{f}_1\left(t\right)+b{f}_2\left(t\right)\right\}dt}$

${\displaystyle =a{\int }_0^{\infty }{e}^{-st}{f}_1\left(t\right)dt+b{\int }_0^{\infty }{e}^{-st}{f}_2\left(t\right)dt}$

${\displaystyle =a\mathcal{L}\left\{f_1\left(t\right)\right\}+b\mathcal{L}\left\{f_2\left(t\right)\right\}}$

　

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最終更新日： 2023年6月6日