ラプラス変換の定義

${\displaystyle f\left(t\right)}$ を ${\displaystyle 0<t<\infty }$ で定義されている実変数 ${\displaystyle t}$ の関数とする．

${\displaystyle F\left(s\right)={\int }_0^{\infty }f\left(t\right)e^{-st}dt}$

によって ${\displaystyle s}$ を変数とする関数 ${\displaystyle F\left(s\right)}$ を定める．この ${\displaystyle F\left(s\right)}$ を ${\displaystyle f\left(t\right)}$ のラプラス変換という．

記号 ${\displaystyle \mathcal{L}}$ を用いて

${\displaystyle {\int }_0^{\infty }f\left(t\right)e^{-st}dt=\mathcal{L}\left\{f\left(t\right)\right\}}$

と表すと

${\displaystyle F\left(s\right)=\mathcal{L}\left\{f\left(t\right)\right\}}$

となる．

${\displaystyle s}$ は一般に複素数で ${\displaystyle s=\sigma +i\omega }$ （ ${\displaystyle \sigma ,\omega }$ は実数， ${\displaystyle i=\sqrt{-1}}$ （虚数単位））である．

また ${\displaystyle f\left(t\right)}$ を原関数または表関数， ${\displaystyle F\left(s\right)}$ を像関数または裏関数ともいう．

　

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　最終更新日： 2026年1月6日