式の導出

式の導出

1 f( D ) { F( x )+G( x ) } = 1 f( D ) F( x )+ 1 f( D ) G( x )  ・・・・・・(1)

■導出

微分の性質 { y+z } = y + z より

D( y+z )=Dy+Dz  

D 2 ( y+z )=D{ D( y+z ) } =D( Dy+Dz ) =D( Dy )+D( Dz ) = D 2 y+ D 2 z  

D n ( y+z )= D n y+ D n z  

よって

f( D )( y+z )=f( D )y+f( D )z  ・・・・・・(2)

となる.

(1)の左辺に f( D ) を作用させると

f( D )[ 1 f( D ) { F( x )+G( x ) } ]=F( x )+G( x )  ・・・・・・(3)

( f( D ) 1 f( D ) =1 詳しくはこちら)

(1)の右辺に f( D ) を作用させると

f( D )[ 1 f( D ) F( x )+ 1 f( D ) G( x ) ] =f( D ) 1 f( D ) F( x )+f( D ) 1 f( D ) G( x )

(2)より

=F( x )+G( x )  ・・・・・・(4)

(3)(4)より

f( D )[ 1 f( D ) { F( x )+G( x ) } ] =f( D )[ 1 f( D ) F( x )+ 1 f( D ) G( x ) ]  

したがって

1 f( D ) { F( x )+G( x ) } = 1 f( D ) F( x )+ 1 f( D ) G( x )  

 

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 最終更新日: 2023年6月9日