式の導出

${\displaystyle \frac{1}{f\left(D\right)}\left\{F\left(x\right)+G\left(x\right)\right\}}$${\displaystyle =\frac{1}{f\left(D\right)}F\left(x\right)+\frac{1}{f\left(D\right)}G\left(x\right)}$  ･･････(1)

■導出

微分の性質${\displaystyle {\left\{y+z\right\}}^{\prime }=y^{\prime }+z^{\prime }}$ より

${\displaystyle D\left(y+z\right)=Dy+Dz}$  

${\displaystyle D^2\left(y+z\right)=D\left\{D\left(y+z\right)\right\}}$${\displaystyle =D\left(Dy+Dz\right)}$${\displaystyle =D\left(Dy\right)+D\left(Dz\right)}$${\displaystyle =D^{2}y+D^{2}z}$  

${\displaystyle D^n\left(y+z\right)=D^{n}y+D^{n}z}$  

よって

${\displaystyle f\left(D\right)\left(y+z\right)=f\left(D\right)y+f\left(D\right)z}$  ･･････(2)

となる．

(1)の左辺に${\displaystyle f\left(D\right)}$ を作用させると

${\displaystyle f\left(D\right)\left[\frac{1}{f\left(D\right)}\left\{F\left(x\right)+G\left(x\right)\right\}\right]=F\left(x\right)+G\left(x\right)}$  ･･････(3)

(${\displaystyle \because f\left(D\right)\frac{1}{f\left(D\right)}=1}$ ⇒詳しくはこちら)

(1)の右辺に${\displaystyle f\left(D\right)}$ を作用させると

(2)より

${\displaystyle =F\left(x\right)+G\left(x\right)}$  ･･････(4)

(3)(4)より

${\displaystyle f\left(D\right)\left[\frac{1}{f\left(D\right)}\left\{F\left(x\right)+G\left(x\right)\right\}\right]}$${\displaystyle =f\left(D\right)\left[\frac{1}{f\left(D\right)}F\left(x\right)+\frac{1}{f\left(D\right)}G\left(x\right)\right]}$  

したがって

${\displaystyle \frac{1}{f\left(D\right)}\left\{F\left(x\right)+G\left(x\right)\right\}}$${\displaystyle =\frac{1}{f\left(D\right)}F\left(x\right)+\frac{1}{f\left(D\right)}G\left(x\right)}$ 

 

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　最終更新日： 2023年6月9日