微分係数

関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ の ${\displaystyle x=a}$ における微分係数とは，平均変化率の式で $h$ を限りなく0に近づけた時の値で， ${\displaystyle f^{\prime }\left(a\right)}$ と表わす．すなわち，

${\displaystyle f^{\prime }\left(a\right)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}}$

である．また，

${\displaystyle f^{\prime }\left(a\right)=\underset{b\to a}{lim}\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}}$

と表すこともできる．

上の微分係数の定義式を，下図を用いて説明する． $h$ を限りなく0に近づけることは，点Qを点Pに限りなく近づけることと同じである．点Qを点Pに限りなく近づけていくと，直線PQの傾き（平均変化率）はある値に近づく．その値が ${\displaystyle x=a}$ における微分係数である．いいかえると，関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ の ${\displaystyle x=a}$ における接線の傾きになる．

■具体例

関数 ${\displaystyle f\left(x\right)=x^2}$ の ${\displaystyle x=2}$ における微分係数を求めてみる．

下の表は $x$ の値が2から2+ $h$ に変化したときの平均変化率の値を求めている． $h$ の値が0に近づくにつれてある値（4）に近づいていることがわかる．

次に，微分係数の定義式にしたがって計算してみる．

${\displaystyle \begin{array}{ll}{f}^{\prime }\left(2\right)\hfill & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{f\left(2+h\right)-f\left(2\right)}{h}\hfill \\ \hfill & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{{\left(2+h\right)}^2-2^2}{h}\hfill \\ \hfill & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{4+4h+h^2-4}{h}\hfill \\ \hfill & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{4h+h^2}{h}\hfill \\ \hfill & =\underset{h\to 0}{lim}\left(4+h\right)\hfill \\ \hfill & =4\hfill \end{array}}$

${\displaystyle x=2}$ における微分係数は4であることがわかる．

■インターラクティブグラフ

このアプリでは，関数 ${\displaystyle y=e^{\frac{x}{2}}}$ のグラフ上の 2 点 $\text{P}$，$\text{Q}$ を通る直線（割線）の傾きを調べる． 点 $\text{Q}$ を点 $\text{P}$ に近づけていくと，傾きはある値に近づく．この値が 点 $\text{P}$ における微分係数 である．

●使い方

1. 画面の見かた

• 上のグラフ：${\displaystyle y=e^{\frac{x}{2}}}$ のグラフ（青）と，点 $\text{P}$（赤），点 $\text{Q}$（緑），直線 $\text{PQ}$（オレンジ）を表示している．
• 矢印：$\Delta x$（$x$ 座標の差）と $\Delta y$（$y$ 座標の差）を表す．
• 傾き：直線 $\text{PQ}$ の傾き ${\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}}$ の値を表示する．
• 下のグラフ：横軸は点 $\text{Q}$ の $x$ 座標，縦軸は直線 $\text{PQ}$ の傾きである．赤い縦線は点 $\text{P}$ の $x$ 座標の位置を示す．

2. 操作のしかた

1. $x_{\text{P}}$ のスライダーで点 $\text{P}$ の位置を決める（−4〜4）．
2. $x_{\text{Q}}$ のスライダーを動かして，点 $\text{Q}$ をグラフ上で動かす（−6〜6）．
3. 点 $\text{Q}$ を動かすと，下のグラフに傾きの点が軌跡として残る．
4. $x_{\text{Q}}$ を $x_{\text{P}}$ に近づけて，傾きの値がどう変わるかを見る．
5. $x_{\text{Q}}$ と $x_{\text{P}}$ を同じ値にすると，直線は 点 $\text{P}$ における接線 に変わる．

※ 点 $\text{P}$ を動かすと，下のグラフの軌跡は自動で消える．「軌跡を消す」ボタンでも消すことができる．

3. 考えてみよう

1. $x_{\text{P}}=0$ のとき，$\text{Q}$ を $\text{P}$ に近づけると，傾きはどんな値に近づくだろうか．
2. $\text{Q}$ を $\text{P}$ の右側から近づけたときと，左側から近づけたときで，近づく値は同じだろうか．
3. $x_{\text{P}}$ を変えると，近づく値はどう変わるだろうか．点 $\text{P}$ の $y$ 座標と比べてみよう．

4. まとめ

直線 $\text{PQQ}$ の傾き（平均変化率）は，次の式で表される．

傾き ${\displaystyle =\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f\left(x_{\text{Q}}\right)-f\left(x_{\text{P}}\right)}{x_{\text{Q}}-x_{\text{P}}}}$

$\Delta x$ を 0 に近づけたときに傾きが近づく値が，点 $\text{P}$ における微分係数 ${\displaystyle f^{\prime }\left(x_{\text{P}}\right)}$ である． これは，点 $\text{P}$ における接線の傾きと一致する．

 

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最終更新日： 2026年10月18日