微分係数
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微分係数

関数 f( x ) x=a における微分係数とは,平均変化率の式で h を限りなく0に近づけた時の値で, f ( a )  と表わす.すなわち,

f ( a )= lim h0 f( a+h )f( a ) h

である.また,

f ( a )= lim ba f( b )f( a ) ba  

と表すこともできる.

上の微分係数の定義式を,下図を用いて説明する. h を限りなく0に近づけることは,点Qを点Pに限りなく近づけることと同じである.点Qを点Pに限りなく近づけていくと,直線PQの傾き(平均変化率)はある値に近づく.その値が x=a  における微分係数である.いいかえると,関数 f( x ) x=a  における接線の傾きになる.

 

■具体例

関数 f( x )= x 2  の x=2 における微分係数を求めてみる.

下の表は x の値が2から2+ h に変化したときの平均変化率の値を求めている. h の値が0に近づくにつれてある値(4)に近づいていることがわかる.

  • 正の方向から2に近づけた場合
    h 平均変化率
    2 6
    1 5
    0.5 4.5
    0.25 4.25
    0.125 4.125
    0.0625 4.0625
    0.03125 4.03125
    0.015625 4.015625
    0.0078125 4.0078125
    0.00390625 4.00390625
    0.001953125 4.001953125
  • 負の方向から2に近づけた場合
    h 平均変化率
    -2 2
    -1 3
    -0.5 3.5
    -0.25 3.75
    -0.125 3.875
    -0.0625 3.9375
    -0.03125 3.96875
    -0.015625 3.984375
    -0.0078125 3.9921875
    -0.00390625 3.99609375
    -0.001953125 3.998046875

次に,微分係数の定義式にしたがって計算してみる.

f ( 2 ) = lim h0 f( 2+h )f( 2 ) h = lim h0 ( 2+h ) 2 2 2 h = lim h0 4+4h+ h 2 4 h = lim h0 4h+ h 2 h = lim h0 ( 4+h ) =4  

x=2 における微分係数は4であることがわかる. 

 

 

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最終更新日: 2016年3月1日

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