逆関数の導関数
KIT数学ナビゲーション
 

逆関数の導関数

y=f( x )  を x に関して解いて得られる逆関数 x=g( y )  の導関数は

dx dy = 1 dy dx  

となる.

■導出

d x d y = lim h 0 g ( y + h ) g ( y ) h

ここで, h=Δy=f( x+j ) -f( x )   ( j=Δx ), g( y+h )g( y )=Δx=j  とおくことができる.また, h0  ならば j0  となる. よって,

= lim j0 j f( x+j ) -f( x )

= lim j0 1 f( x+j ) -f( x ) j

= 1 lim j0 f( x+j ) -f( x ) j

= 1 f ( x )   微分に関する基本式を参照

= 1 dy dx

 

●グラフを用いた逆関数の導関数の説明

dx dy = lim Δy0 Δx Δy

ここで,

Δx=g( y+Δy )g( y ) Δy=f( x+Δx )f( x ) である. Δx Δy は,ある値である.よって, Δx Δy の分母分子を Δx で割ることができ,

Δ x Δ y =    Δ x Δ x    Δ y Δ x = 1    Δ y Δ x   

となる.

lim Δ y 0 Δ x Δ y = lim Δ y 0 1    Δ y Δ x     

= 1 lim Δy0 Δy Δx  

= 1 lim Δx0 Δy Δx      ( Δg0 のとき Δx0 となるので)

= 1 dy dx  

以上より

dx dy = 1 dy dx

ホーム>>カテゴリー分類>>微分>>逆関数の導関数

最終更新日: 2020年3月31日

[ページトップ] 金沢工業大学