逆関数の導関数

${\displaystyle y=f\left(x\right)}$  を x に関して解いて得られる逆関数 ${\displaystyle x=g\left(y\right)}$  の導関数は

${\displaystyle \frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}}$  

となる．ただし，$f$は$x$の近くで微分可能で ${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)\ne 0}$，かつ，この近くで単調に増加または減少するとする（このとき逆関数$g$も連続な関数になる）．

■導出

${\displaystyle {\displaystyle \frac{dx}{dy}{\displaystyle =\underset{h\to 0}{lim}\frac{g\left(y+h\right)-g\left(y\right)}{h}}}}$

ここで， ${\displaystyle h=\Delta y=f\left(x+j\right)-f\left(x\right)}$   （ ${\displaystyle j=\Delta x}$ ）とおく．$f$は単射なので， ${\displaystyle j\ne 0}$ のとき${\displaystyle f\left(x+j\right)\ne f\left(x\right)}$，すなわち，${\displaystyle h\ne 0}$であり，また，${\displaystyle g\left(y+h\right)-g\left(y\right)=j}$ となる．

$g$の連続性より， ${\displaystyle h\to 0}$ のとき ${\displaystyle j\to 0}$ である．

よって

${\displaystyle =\underset{j\to 0}{lim}\frac{j}{f\left(x+j\right)-f\left(x\right)}}$

${\displaystyle =\underset{j\to 0}{lim}\frac{1}{\frac{f\left(x+j\right)-f\left(x\right)}{j}}}$

${\displaystyle =\frac{1}{\underset{j\to 0}{lim}\frac{f\left(x+j\right)-f\left(x\right)}{j}}}$

${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)\ne 0}$ より

${\displaystyle =\frac{1}{f^{\prime }\left(x\right)}}$   微分に関する基本式を参照

${\displaystyle =\frac{1}{\frac{dy}{dx}}}$

　

●グラフを用いた逆関数の導関数の説明

${\displaystyle \frac{dx}{dy}=\underset{\Delta y\to 0}{lim}\frac{\Delta x}{\Delta y}}$

ここで，

${\displaystyle \Delta x=g\left(y+\Delta y\right)-g\left(y\right)}$ ， ${\displaystyle \Delta y=f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)}$ である． ${\displaystyle \Delta x}$ ， ${\displaystyle \Delta y}$ は，ある値である．よって， ${\displaystyle \frac{\Delta x}{\Delta y}}$ の分母分子を ${\displaystyle \Delta x}$ で割ることができ，

${\displaystyle {\displaystyle \frac{\Delta x}{\Delta y}=\frac{ \frac{\Delta x}{\Delta x} }{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\frac{1}{ \frac{\Delta y}{\Delta x} }}}$

となる．

${\displaystyle {\displaystyle \underset{\Delta y\to 0}{lim}\frac{\Delta x}{\Delta y}{\displaystyle =\underset{\Delta y\to 0}{lim}\frac{1}{ \frac{\Delta y}{\Delta x} }}}}$  

${\displaystyle =\frac{1}{\underset{\Delta y\to 0}{lim}\frac{\Delta y}{\Delta x}}}$  

${\displaystyle =\frac{1}{\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{\Delta y}{\Delta x}}}$      ( ${\displaystyle \Delta y\to 0}$ のとき ${\displaystyle \Delta x\to 0}$ となるので)

${\displaystyle =\frac{1}{\frac{dy}{dx}}}$  

以上より

${\displaystyle \frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}}$

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最終更新日： 2026年6月14日