合成関数の2次偏導関数の導出

合成関数の2次偏導関数の導出

z=f( x,y ) x=φ( t ),y=ψ( t ) ならば,

d 2 z d t 2 = f xx ( dx dt ) 2 +2 f xy dx dt dy dt + f yy ( dy dt ) 2 + f x d 2 x d t 2 + f y d 2 y d t 2

もしくは,

d 2 z d t 2 = 2 z x 2 ( dx dt ) 2 +2 2 z xy dx dt dy dt + 2 z y 2 ( dy dt ) 2 + z x d 2 x d t 2 + z y d 2 y d t 2

■導出

d 2 z d t 2 = d dt ( dz dt )

= d d t ( z x d x d t + z y d y d t )

= d d t ( z x d x d t ) + d d t ( z y d y d t )

={ d dt ( z x )· dx dt + z x · d dt ( dx dt ) } +{ d dt ( z y )· dy dt + z y · d dt ( dy dt ) }

条件から, z x , z y は共に合成関数であるから,これらを t で微分すると,

d dt ( z x )= x ( z x ) dx dt + y ( z x ) dy dt

= 2 z x 2 d x d t + 2 z y x d y d t

d dt ( z y )= x ( z y ) dx dt + y ( z y ) dy dt

= 2 z x y d x d t + 2 z y 2 d y d t

これらを代入して,

d 2 z d t 2 ={ ( 2 z x 2 dx dt + 2 z yx dy dt ) dx dt + z x · d dt ( dx dt ) } +{ ( 2 z xy dx dt + 2 z y 2 dy dt ) dy dt + z y d dt ( dy dt ) }

= 2 z x 2 ( dx dt ) 2 + 2 z yx dy dt dx dt + z x d 2 x d t 2 + 2 z xy dx dt dy dt + 2 z y 2 ( dy dt ) 2 + z y d 2 y d t 2

= 2 z x 2 ( dx dt ) 2 + 2 z xy dx dt dy dt + z x d 2 x d t 2 + 2 z xy dx dt dy dt + 2 z y 2 ( dy dt ) 2 + z y d 2 y d t 2

= 2 z x 2 ( dx dt ) 2 +2 2 z xy dx dt dy dt + 2 z y 2 ( dy dt ) 2 + z x d 2 x d t 2 + z y d 2 y d t 2

= f xx ( dx dt ) 2 +2 f yx dx dt dy dt + f yy ( dy dt ) 2 + f x d 2 x d t 2 + f y d 2 y d t 2

f yx = f xy より(ここを参照)

= f xx ( dx dt ) 2 +2 f xy dx dt dy dt + f yy ( dy dt ) 2 + f x d 2 x d t 2 + f y d 2 y d t 2

 

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最終更新日: 2023年1月21日