合成関数

2つの関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$  と ${\displaystyle g\left(x\right)}$  がある．そして， ${\displaystyle f\left(x\right)}$  の値域が ${\displaystyle g\left(x\right)}$  の定義域に含まれているとする．

変数 x は関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$  によって y に対応すると

${\displaystyle y=f\left(x\right)}$   ･･････(1)

と表される．

今度は， y を変数と考える．この変数 y は関数 ${\displaystyle g\left(y\right)}$  によって z に対応すると（変数が x から y にかえているので ${\displaystyle g\left(y\right)}$ と表していることに注意すること）

${\displaystyle z=g\left(y\right)}$   ･･････(2)

と表される．

(2)の変数 y のかわりに(1)より ${\displaystyle f\left(x\right)}$  を用いると

${\displaystyle z=g\left(f\left(x\right)\right)}$  

と表される．すなわち，変数 x は関数 f につづいて関数 g を機能させることにより z に対応する．よって ${\displaystyle g\left(f\left(x\right)\right)}$ を1つの関数とみなせる．この関数を合成関数といい，

${\displaystyle \left(g\circ f\right)\left(x\right)}$  

と表す．

この合成関数の概念を図で表すと下図のようになる．

${\displaystyle \begin{array}{l}b=f\left(a\right)\\ c=g\left(b\right)\end{array}\}\Rightarrow c=g\left(f\left(a\right)\right)}$ ，あるいは， ${\displaystyle \left(g\circ f\right)\left(a\right)}$  

 

合成写像を参照のこと

 

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最終更新日 2025年4月26日