合成関数の2次偏導関数の導出

合成関数の2次偏導関数の導出

z=f( x,y ) x=φ( u,v ),y=ψ( u,v ) ならば

2 z u 2 = f xx ( x u ) 2 +2 f xy x u y u + f yy ( y u ) 2 + f x 2 x u 2 + f y 2 y u 2

もしくは,

2 z u 2 = 2 z x 2 ( x u ) 2 +2 2 z xy x u y u + 2 z y 2 ( y u ) 2 + z x 2 x u 2 + z y 2 y u 2

■導出

2 z u 2 = u ( z u )

= u ( f x x u + f y y u )

= u ( z x x u + z y y u )

= u ( z x x u ) + u ( z y y u )

={ u ( z x ) x u + z x u ( x u ) } +{ u ( z y ) y u + z y u ( y u ) }

= { u ( z x ) · x u + z x 2 x u 2 } + { u ( z y ) · y u + z y 2 y u 2 }

条件から, z x , z y は共に合成関数であるから,これらを u 偏微分すると,

u ( z x )= x ( z x ) x u + y ( z x ) y u

= 2 z x 2 x u + 2 z y x y u

u ( z y )= x ( z y ) x u + y ( z y ) y u

= 2 z x y x u + 2 z y 2 y u

これらを代入して,

2 z u 2 ={ ( 2 z x 2 x u + 2 z yx y u ) x u + z x 2 x u 2 } +{ ( 2 z xy x u + 2 z y 2 y u ) y u + z y 2 y u 2 }

={ 2 z x 2 ( x u ) 2 + 2 z yx y u x u + z x 2 x u 2 } +{ 2 z xy x u y u + 2 z y 2 ( y u ) 2 + z y 2 y u 2 }

= 2 z x 2 ( x u ) 2 + 2 z yx y u x u + z x 2 x u 2 + 2 z xy x u y u + 2 z y 2 ( y u ) 2 + z y 2 y u 2

= 2 z x 2 ( x u ) 2 + 2 z xy x u y u + z x 2 x u 2 + 2 z xy x u y u + 2 z y 2 ( y u ) 2 + z y 2 y u 2

= 2 z x 2 ( x u ) 2 + 2 2 z x y x u y u + 2 z y 2 ( y u ) 2 + z x 2 x u 2 + z y 2 y u 2

= f x x ( x u ) 2 + 2 f y x x u y u + f y y ( y u ) 2 + f x 2 x u 2 + f y 2 y u 2

f yx = f xy より(ここを参照)

= f x x ( x u ) 2 + 2 f xy x u y u + f y y ( y u ) 2 + f x 2 x u 2 + f y 2 y u 2

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最終更新日: 2023年1月21日