合成関数の2次偏導関数の導出

合成関数の2次偏導関数の導出

z=f( x,y ) x=φ( u,v ),y=ψ( u,v ) ならば

2 z v 2 = f xx ( x v ) 2 +2 f xy x v y v + f yy ( y v ) 2 + f x 2 x v 2 + f y 2 y v 2

もしくは,

2 z v 2 = 2 z x 2 ( x v ) 2 +2 2 z xy x v y v + 2 z y 2 ( y v ) 2 + z x 2 x v 2 + z y 2 y v 2

■導出

2 z v 2 = v ( z v )

= v ( f x x v + f y y v )

= v ( z x x v + z y y v )

= v ( z x x v ) + v ( z y y v )

={ v ( z x ) x v + z x v ( x v ) } +{ v ( z y ) y v + z y v ( y v ) }

={ v ( z x ) x v + z x 2 x v 2 } +{ v ( z y ) y v + z y 2 y v 2 }

条件から, z x , z y は共に合成関数であるから,これらを v 偏微分すると,合成関数の偏微分となるから,

v ( z x )= x ( z x ) x v + y ( z x ) y v

= 2 z x 2 x v + 2 z y x y v

v ( z y )= x ( z y ) x v + y ( z y ) y v

= 2 z x y x v + 2 z y 2 y v

これらを代入して,

2 z v 2 ={ ( 2 z x 2 x v + 2 z yx y v ) x v + z x 2 x v 2 } +{ ( 2 z xy x v + 2 z y 2 y v ) y v + z y 2 y v 2 }

={ 2 z x 2 ( x v ) 2 + 2 z yx y v x v + z x 2 x v 2 } +{ 2 z xy x v y v + 2 z y 2 ( y v ) 2 + z y 2 y v 2 }

= 2 z x 2 ( x v ) 2 + 2 z yx y v x v + z x 2 x v 2 + 2 z xy x v y v + 2 z y 2 ( y v ) 2 + z y 2 y v 2

= 2 z x 2 ( x v ) 2 + 2 z xy x v y v + z x 2 x v 2 + 2 z xy x v y v + 2 z y 2 ( y v ) 2 + z y 2 y v 2

= 2 z x 2 ( x v ) 2 +2 2 z xy x v y v + 2 z y 2 ( y v ) 2 + z x 2 x v 2 + z y 2 y v 2

= f xx ( x v ) 2 +2 f xy x v y v + f yy ( y v ) 2 + f x 2 x v 2 + f y 2 y v 2

 

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最終更新日: 2023年1月21日