合成関数の2次偏導関数の導出

合成関数の2次偏導関数の導出

z=f( x,y ) x=φ( u,v ),y=ψ( u,v ) ならば

2 z uv = 2 z vu = f xx x u x v + f xy ( x u y v + x v y u ) + f yy y u y v + f x 2 x uv + f y 2 y uv

もしくは,

2 z uv = 2 z vu = 2 z x 2 x u x v + 2 z xy ( x u y v + x v y u ) + 2 z 2 y y u y v + z x 2 x uv + z y 2 y uv

■導出

2 z uv = u ( z v )

= u ( f x x v + f y y v )

= u ( z x x v + z y y v )

= u ( z x x v )+ u ( z y y v )

= u ( z x ) x v + z x u ( x v ) + u ( z y ) y v + z y u ( y v )

= u ( z x ) x v + z x 2 x uv + u ( z y ) y v + z y 2 y uv

z 合成関数であるので, z x , z y も共に合成関数となる.これらを u 偏微分すると,合成関数の偏微分より,

u ( z x )= x ( z x ) x u + y ( z x ) y u

= 2 z x 2 x u + 2 z y x y u

u ( z y )= x ( z y ) x u + y ( z y ) y u

= 2 z x y x u + 2 z y 2 y u

これらを代入して,

2 z uv ={ ( 2 z x 2 x u + 2 z yx y u ) x u + z x 2 x uv }+{ ( 2 z xy x u + 2 z y 2 y u ) y u + z y 2 y uv }

={ 2 z x 2 x u x v + 2 z yx y u x v + z x 2 x uv } +{ 2 z xy x u y v + 2 z y 2 y u y v + z y 2 y uv }

= f xx x u x v + f xy y u x v + f x 2 x uv + f yx x u y v + f yy y u y v + f y 2 y uv

偏微分の順序交換が成り立つ,すなわち f xy = f yx より

= f xx x u x v + f xy ( x u y v + x v y u ) + f yy y u y v + f x 2 x uv + f y 2 y uv

 

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最終更新日: 2023年1月21日