合成関数の偏導関数の導出

2変数関数 $z = f (x, y)$ で $x = φ (t), y = ψ (t)$ ならば，偏導関数 $\frac{d z}{d t}$ は

$\frac{d z}{d t} = f_{x} \frac{d x}{d t} + f_{y} \frac{d y}{d t}$

となる．

■導出

$\frac{d z}{d t}$ $= \lim_{h \to 0} \frac{f (φ (t + h), ψ (t + h)) - f (φ (t), ψ (t))}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{f (φ (t + h), ψ (t + h)) - f (φ (t), ψ (t + h)) + f (φ (t), ψ (t + h)) - f (φ (t), ψ (t))}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{f (φ (t + h), ψ (t + h)) - f (φ (t), ψ (t + h))}{h}$ $+ \lim_{h \to 0} \frac{f (φ (t), ψ (t + h)) - f (φ (t), ψ (t))}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{f (φ (t + h), ψ (t + h)) - f (φ (t), ψ (t + h))}{φ (t + h) - φ (t)} \frac{φ (t + h) - φ (t)}{h}$ $+ \lim_{h \to 0} \frac{f (φ (t), ψ (t + h)) - f (φ (t), ψ (t))}{ψ (t + h) - ψ (t)} \frac{ψ (t + h) - ψ (t)}{h}$

$= \frac{\partial z}{\partial x} \frac{d x}{d t} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{d y}{d t}$

$= f_{x} \frac{d x}{d t} + f_{y} \frac{d y}{d t}$

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最終更新日： 2026年9月25日