合成関数の偏導関数の導出

2変数関 $z = f (x, y)$ で $x = φ (u, v)$ , $y = ψ (u, v)$ ならば，偏導関数 $\frac{\partial z}{\partial v}$ は

$\frac{\partial z}{\partial v} = f_{x} \frac{\partial x}{\partial v} + f_{y} \frac{\partial y}{\partial v}$

となる．

■導出

$\frac{\partial z}{\partial v}$ $= \lim_{h \to 0} \frac{f (φ (u, v + h), ψ (u, v + h)) - f (φ (u, v), ψ (u, v))}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{f (φ (u, v + h), ψ (u, v + h)) - f (φ (u, v), ψ (u, v + h)) + f (φ (u, v), ψ (u, v + h)) - f (φ (u, v), ψ (u, v))}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{f (φ (u, v + h), ψ (u, v + h)) - f (φ (u, v), ψ (u, v + h))}{φ (u, v + h) - φ (u, v)} \frac{φ (u, v + h) - φ (u, v)}{h}$

$+ \lim_{h \to 0} \frac{f (φ (u, v), ψ (u, v + h)) - f (φ (u, v), ψ (u, v))}{ψ (u, v + h) - ψ (u, v)} \frac{ψ (u, v + h) - ψ (u, v)}{h}$ ･･････(1)

(1)の右辺第1項を考える．

(1)の右辺第1項 $= \lim_{h \to 0} \frac{f (φ (u, v + h), ψ (u, v + h)) - f (φ (u, v), ψ (u, v + h))}{φ (u, v + h) - φ (u, v)} \lim_{h \to 0} \frac{φ (u, v + h) - φ (u, v)}{h}$

$φ (u, v + h) - φ (u, v) = i$ とおくと， $φ (u, v + h) = φ (u, v) + i = x + i$

$h \to 0$ ならば $i \to 0$ となる．さらに $ψ (u, v + h)$ を $y^{'}$ に置き換えると

(1)の右辺第1項 $= \lim_{i \to 0} \frac{f (x + i, y^{'}) - f (x, y^{'})}{i} \lim_{h \to 0} \frac{φ (u, v + h) - φ (u, v)}{h}$

$= f_{x} \frac{\partial x}{\partial v}$

(1)の右辺第2項を考える.

(1)の右辺第2項 $= \lim_{h \to 0} \frac{f (φ (u, v), ψ (u, v + h)) - f (φ (u, v), ψ (u, v))}{ψ (u, v + h) - ψ (u, v)} \lim_{h \to 0} \frac{ψ (u, v + h) - ψ (u, v)}{h}$

$ψ (u, v + h) - ψ (u, v) = j$ とおくと， $ψ (u, v + h) = ψ (u, v) + j = y + j$

$h \to 0$ ならば $j \to 0$ となる．さらに $φ (u, v)$ を $x$ に置き換えると

(1)の右辺第2項 $= \lim_{j \to 0} \frac{f (x, y + j) - f (x, y)}{j} \lim_{h \to 0} \frac{ψ (u, v + h) - ψ (u, v)}{h}$

$= f_{y} \frac{\partial y}{\partial v}$

以上より

$\frac{\partial z}{\partial v} = f_{x} \frac{\partial x}{\partial v} + f_{y} \frac{\partial y}{\partial v}$

となる．

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最終更新日： 2026年9月25日