合成関数の偏導関数の導出 ∂/∂v(f(φ(u,v),ψ(u,v)))

合成関数の偏導関数の導出

2変数関 z=f( x,y ) x=φ( u,v ) , y=ψ( u,v ) ならば,偏導関数 z v

z v = f x x v + f y y v

となる.

■導出

z v = lim h0 f( φ( u,v+h ),ψ( u,v+h ) )f( φ( u,v ),ψ( u,v ) ) h

= lim h0 f( φ( u,v+h ),ψ( u,v+h ) )f( φ( u,v ),ψ( u,v+h ) )+f( φ( u,v ),ψ( u,v+h ) )f( φ( u,v ),ψ( u,v ) ) h

= lim h0 f( φ( u,v+h ),ψ( u,v+h ) )f( φ( u,v ),ψ( u,v+h ) ) φ( u,v+h )φ( u,v ) φ( u,v+h )φ( u,v ) h

+ lim h0 f( φ( u,v ),ψ( u,v+h ) )f( φ( u,v ),ψ( u,v ) ) ψ( u,v+h )ψ( u,v ) ψ( u,v+h )ψ( u,v ) h  ・・・・・・(1)

(1)の右辺第1項を考える.

(与式) = lim h 0 f ( φ ( u , v+ h ) , ψ ( u , v+ h ) ) f ( φ ( u , v ) , ψ ( u , v+ h ) ) φ ( u , v+ h ) φ ( u , v ) lim h 0 φ ( u , v+ h ) φ ( u , v ) h

φ( u,v+h )φ( u,v )=i   とおくと, φ( u,v+h )=φ( u,v )+i=x+i

h0  ならば i0 となる.さらに ψ( u,v+h ) y に置き換えると

(与式) = lim i0 f( x+i, y )f( x, y ) i lim h0 φ( u,v+h )φ( u,v ) h

= f x x v

(1)の右辺第2項を考える.

(与式) = lim h0 f( φ( u,v ),ψ( u,v+h ) )f( φ( u,v ),ψ( u,v ) ) ψ( u,v+h )ψ( u,v ) lim h0 ψ( u,v+h )ψ( u,v ) h

ψ( u,v+h )ψ( u,v )=j  とおくと, ψ( u,v+h )=ψ( u,v )+j=y+j

h0  ならば j0 となる.さらに φ( u,v ) x に置き換えると

(与式) = lim j0 f( x ,y+j )f( x ,y ) j lim h0 ψ( u,v+h )ψ( u,v ) h

= f y y v

以上より

z v = f x x v + f y y v

となる.


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最終更新日: 2024年5月15日