偏微分係数

2変数の関数 ${\displaystyle z=f\left(x,y\right)}$ は点 ${\displaystyle \left(a,b\right)}$ を含む ${\displaystyle R^2}$ のある領域 D で定義されているもとのする． この関数 ${\displaystyle f\left(x,y\right)}$ について， y をとめて x だけを変化させたときの極限値

${\displaystyle \underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(a+h,b\right)-f\left(a,b\right)}{h}}$

が存在すれば， ${\displaystyle f\left(x,y\right)}$ は 点 ${\displaystyle \left(a,b\right)}$ において x について偏微分可能であるといい，この極限値のことを， 関数 ${\displaystyle f\left(x,y\right)}$ の 点 ${\displaystyle \left(a,b\right)}$ における x についての偏微分係数といい ${\displaystyle f_x\left(a,b\right)}$ で表わす．

領域 D の各点で x について偏微分可能ならば， ${\displaystyle f\left(x,y\right)}$ は領域 D において x について偏微分可能であるという．

また，この関数 ${\displaystyle f\left(x,y\right)}$ について， x をとめて y だけを変化させたときの極限値

${\displaystyle \underset{k\to 0}{\lim }\frac{f\left(a,b+k\right)-f\left(a,b\right)}{k}}$

が存在すれば， ${\displaystyle f\left(x,y\right)}$ は 点 ${\displaystyle \left(a,b\right)}$ において y について偏微分可能であるといい，この極限値のことを， 関数 ${\displaystyle f\left(x,y\right)}$ の 点 ${\displaystyle \left(a,b\right)}$ における y についての偏微分係数といい ${\displaystyle f_y\left(a,b\right)}$ で表わす．

領域 D の各点で y について偏微分可能ならば， ${\displaystyle f\left(x,y\right)}$ は領域 D において y について偏微分可能であるという．

まとめると

${\displaystyle f_x\left(a,b\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(a+h,b\right)-f\left(a,b\right)}{h}}$  

${\displaystyle f_y\left(a,b\right)=\underset{k\to 0}{\lim }\frac{f\left(a,b+k\right)-f\left(a,b\right)}{k}}$  

 

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最終更新日： 2026年9月24日