f ( x , y ) ， g ( x , y ) は x , y を変数とする関数（2変数関数） とすると
∂ ∂x { f( x,y )g( x,y ) } =( ∂ ∂x f( x,y ) )g( x,y ) +f( x,y )( ∂ ∂x g( x,y ) )
が成り立つ．
偏導関数の定義式
∂ ∂x f( x,y )= lim h→0 f( x+h,y )−f( x,y ) h
を利用すると
∂ ∂ x { f ( x , y ) g ( x , y ) }
= lim h → 0 { f ( x + h , y ) g ( x + h , y ) } − { f ( x , y ) g ( x , y ) } h
= lim h → 0 f ( x + h , y ) g ( x + h , y ) − f ( x , y ) g ( x + h , y ) + f ( x , y ) g ( x + h , y ) − f ( x , y ) g ( x , y ) h
= lim h→0 f( x+h,y )g( x+h,y )−f( x,y )g( x+h,y ) h + lim h→0 f( x,y )g( x+h,y )−f( x,y )g( x,y ) h
= lim h→0 f( x+h,y )−f( x,y ) h g( x+h,y ) + lim h→0 f( x,y ) g( x+h,y )−g( x,y ) h
= lim h→0 f( x+h,y )−f( x,y ) h lim h→0 g( x+h,y ) +f( x,y ) lim h→0 g( x+h,y )−g( x,y ) h
=( ∂ ∂x f( x,y ) )g( x,y ) +f( x,y )( ∂ ∂x g( x,y ) )
よって
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最終更新日： 2023年1月21日