定数倍した関数の導関数

${\displaystyle {\left\{cg\left(x\right)\right\}}^{\prime }=c{g}^{\prime }\left(x\right)}$

すなわち

$f\left(x\right)=cg \left(x\right)\to f^{\prime }\left(x\right)=c{g}^{\prime }\left(x\right)$ 

■導出

関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ は，関数 ${\displaystyle g\left(x\right)}$ を c 倍した関数${\displaystyle cg\left(x\right)}$ である．その導関数は，定義式より

${\displaystyle {\left\{cg\left(x\right)\right\}}^{\prime }=\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{cg\left(x+\Delta x\right)+cg\left(x\right)}{\Delta x}}$

式を整理しなおすと

${\displaystyle {\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)}=\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{c\left\{g\left(x+\Delta x\right)+g\left(x\right)\right\}}{\Delta x}}$${\displaystyle =c\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{g\left(x+\Delta x\right)+g\left(x\right)}{\Delta x}=c{g}^{\prime }\left(x\right)}$

となる．すなわち

${\displaystyle {\left\{cg\left(x\right)\right\}}^{\prime }=c{g}^{\prime }\left(x\right)}$

である．

 

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最終更新日： 2023年6月8日