極値

極値とは極大値あるいは極小値のこと．

• 極大値

  極大値とは，関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ において， ${\displaystyle x=c}$ の近くで ${\displaystyle x\ne c}$ のとき， ${\displaystyle f\left(c\right)>f\left(x\right)}$ となる ${\displaystyle f\left(c\right)}$ のことで，関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ は ${\displaystyle x=c}$ で極大になるという．

  ${\displaystyle x=c}$ の近傍で ${\displaystyle f^{″}\left(x\right)}$ が存在するならば ${\displaystyle f^{\prime }\left(c\right)=0}$ ， ${\displaystyle f^{″}\left(c\right)<0}$ である．グラフの凹凸を参照

• 極小値

  極小値とは，関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ において， ${\displaystyle x=c}$ の近くで ${\displaystyle x\ne c}$ のとき， ${\displaystyle f\left(c\right)<f\left(x\right)}$ となる ${\displaystyle f\left(c\right)}$ のことで，関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ は ${\displaystyle x=c}$ で極小になるという．

  ${\displaystyle x=c}$ の近傍で ${\displaystyle f^{″}\left(x\right)}$ が存在するならば ${\displaystyle f^{\prime }\left(c\right)=0}$ ， ${\displaystyle f^{″}\left(c\right)>0}$ である．グラフの凹凸を参照

■極大，極小の説明図

上の図からもわかるように，極値をとる $x$ の値前後で関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ の増減が変化している．すなわち ${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)}$ の符号が正から負，あるいは負から正に変化している．

 

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最終更新日： 2025年4月25日