中間値の定理

関数 f が閉区間 ${\displaystyle \left[a,b\right]}$ で連続，かつ${\displaystyle f\left(a\right)\ne f\left(b\right)}$ ならば，${\displaystyle f\left(a\right)}$ と${\displaystyle f\left(b\right)}$の中間の値 k に対して

${\displaystyle f\left(c\right)=k}$ 　(${\displaystyle a<c<b}$)

を満たすようなc が存在する．

■証明

●${\displaystyle f\left(a\right)<f\left(b\right)}$の場合

関数${\displaystyle f\left(x\right)}$の${\displaystyle x=a}$ での連続性の定義は，「任意の正の実数 ${\displaystyle \epsilon }$に対して，適当な正の数${\displaystyle \delta }$があって，${\displaystyle \left|x-a\right|<\delta }$のすべての${\displaystyle x}$について ${\displaystyle \left|f\left(x\right)-f\left(a\right)\right|<\epsilon }$ となる」と表わされる．ここで，${\displaystyle x\geqq a}$ ，${\displaystyle d>a}$，${\displaystyle \epsilon =k-f\left(a\right)}$， ${\displaystyle \delta =d-a}$ として定義を適用すると ，ある区間${\displaystyle [a,d)}$ の任意の $x$ ^注1) において，常に ${\displaystyle f\left(x\right)<k}$ ^注2) となる $d$ が存在し，その集合を $D$ とする．${\displaystyle k<f\left(b\right)}$ （ただし，${\displaystyle b\notin D}$ ）より，$D$には上限がある．その上限の値を ${\displaystyle e}$ とすると，${\displaystyle a<e\leqq b}$ となる．

${\displaystyle f\left(e\right)<k}$ とすると，十分小さい${\displaystyle {\epsilon }^{\prime }}$ に対して，${\displaystyle f\left(e+{\epsilon }^{\prime }\right)<k}$ となってしまい，${\displaystyle e}$ が上限であることに矛盾する．また，${\displaystyle f\left(e\right)>k}$ とすると，十分小さい${\displaystyle {\epsilon }^{\prime }}$ に対して，${\displaystyle f\left(e-{\epsilon }^{\prime }\right)>k}$ となってしまい，${\displaystyle e}$ が上限であることに矛盾する．したがって，${\displaystyle f\left(e\right)=k}$となる$e$が集合$D$の上限の値で，${\displaystyle k<f\left(b\right)}$ より ，${\displaystyle a<e<b}$となる．以上より，${\displaystyle e}$ は$c$ の1つである．

${\displaystyle f\left(a\right)>f\left(b\right)}$の場合も同様である．

 

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最終更新日： 2024年5月28日