関数の連続性

■1変数関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ の場合

関数${\displaystyle f\left(x\right)}$ が${\displaystyle a}$ の近傍で定義されていて

${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{a}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(a\right)}$

ε-δ論法を用いると「任意の正の実数 ${\displaystyle \epsilon }$に対して，適当な正の数${\displaystyle \delta }$があって，${\displaystyle \left|x-a\right|<\delta }$のすべての${\displaystyle x}$について ${\displaystyle \left|f\left(x\right)-f\left(a\right)\right|<\epsilon }$ となる」（参考ページ）

であるとき，${\displaystyle f\left(x\right)}$ は${\displaystyle a}$ において連続であるという．

関数${\displaystyle f\left(x\right)}$ が区間${\displaystyle I}$ の各点で連続のとき，${\displaystyle f\left(x\right)}$ は区間${\displaystyle I}$ において連続であるという．

■2変数関数 ${\displaystyle f\left(x,y\right)}$ の場合

関数${\displaystyle f\left(x,y\right)}$ が点${\displaystyle P\left(a,b\right)}$ の近傍で定義されていて

${\displaystyle \underset{\left(x,y\right)\to \left(a,b\right)}{\lim }f\left(x,y\right)=f\left(a,b\right)}$

であるとき，${\displaystyle f\left(x,y\right)}$ は点${\displaystyle P}$ において連続であるという．

関数${\displaystyle f\left(x,y\right)}$ が領域${\displaystyle D}$ の各点で連続のとき，${\displaystyle f\left(x,y\right)}$ は領域${\displaystyle D}$ において連続であるという．

　

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最終更新日： 2026年9月25日