ド・モアブルの定理
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ド・モアブルの定理

z=r( cosθ+sinθ ) のとき

z n = r n ( cosnθ+sinnθ )

ただし n は任意の整数(負の整数,0,正の整数)

■証明

まず,

z=r( cosθ+sinθ )  ・・・・・・(1)

z n = r n ( cosnθ+sinnθ )  ・・・・・・(2)

とおく.

n=1 のとき,(2)は

z=r( cosθ+sinθ )

となり,(1)そのものであるので, n=1 のとき(2)は成り立つ.

次に, n=m :自然数) のとき(2)が成り立つとする.

すると,

z m · z = r m ( cos m θ + sin m θ ) r ( cos θ + sin θ )

= r m+1 cosmθcosθsinmθsinθ+ sinmθcosθ+cosmθsinθ

= r m+1 { cos( mθ+θ )+sin( mθ+θ ) }   (三角関数の加法定理より)

= r m+1 { cos( m+1 )θ+sin( m+1 )θ }

 

よって,帰納法より自然数,言いかえると正の整数について(2)が成り立つ.

n=0 のときは(2)は左辺=右辺=0となり成り立つ.

さらに, n が負の整数場合はm を自然数とすると, n=m となり,

z m = 1 z m

= 1 r m ( cosmθ+sinmθ )

= r m cosmθsinmθ cos 2 mθ+ sin 2 mθ

= r m cos( mθ )+sin( mθ )

  • cos m θ = cos ( m θ )

  • sin m θ = sin ( m θ )

となり, n が負の整数でもなりたつ.

以上より(2)は全ての整数で成り立つ.

 

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最終更新日:2022年5月24日

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