ド・モアブルの定理
のとき
ただし
は任意の整数(負の整数,0,正の整数)
■証明
まず,
・・・・・・(1)
・・・・・・(2)
とおく.
のとき,(2)は
となり,(1)そのものであるので,
のとき(2)は成り立つ.
次に,
:自然数) のとき(2)が成り立つとする.
すると,
(三角関数の加法定理より)
よって,帰納法より自然数,言いかえると正の整数について(2)が成り立つ.
のときは(2)は左辺=右辺=0となり成り立つ.
さらに,
が負の整数場合はm を自然数とすると,
となり,
となり,
が負の整数でもなりたつ.
以上より(2)は全ての整数で成り立つ.
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最終更新日:2022年5月24日