複素数の絶対値

■複素数の絶対値の定義

複素数 ${\displaystyle z=a+bi}$  の絶対値は ${\displaystyle \left|z\right|}$ で表され

$\left|z\right|=\left|a+ib\right|=\sqrt{a^2+b^2}$

となる．すなわち，複素平面上の原点 $\text{O}$ から点 ${\displaystyle \text{P}\left(z\right)}$ までの距離 $r$ を複素数 $z$ の 絶対値と定義している． 複素平面のページを参照のこと

■複素数の絶対値の性質

1. ${\displaystyle \left|z\right|=\left|-z\right|=\left|\overline{z}\right|}$   ⇒証明
2. ${\displaystyle z\overline{z}={\left|z\right|}^2}$   ⇒証明

$\alpha$ ， $\beta$ を複素数とすると

3. ${\displaystyle \left|\alpha \beta \right|=\left|\alpha \right|\left|\beta \right|}$   ⇒証明
4. ${\displaystyle \left|\frac{\alpha }{\beta }\right|=\frac{\left|\alpha \right|}{\left|\beta \right|}}$   ⇒証明

 

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最終更新日 2025年11月30日