$z^{n} = α$ の解

まず

$z^{n} = α$ ･･････(1)

の解を

$α = r (cos θ + i sin θ)$ $(r > 0)$

とおくと

$z_{k} = \sqrt[n]{r} (\cos \frac{θ + 2 π \cdot k}{n} + i \sin \frac{θ + 2 π \cdot k}{n})$ $(k = 0, 1, 2, ・・・・, n - 1)$ ･･････(2)

となる．

■導出計算

(1)の解を

$z = R (cos φ + i sin φ) (R > 0)$ ･･････(3)

(4)の両辺を比較することにより

$R^{n} = r$ ･･････(5)

$cos n ϕ = cos θ, sin n ϕ = sin θ$ ･･････(6)

R，rは正の実数であるから，(5)より

$R = \sqrt[n]{r}$ ･･････(7)

(6)より

$n ϕ = θ + 2 π \cdot k$

$∴ ϕ = \frac{θ + 2 π \cdot k}{n}$ ･･････(7)

$z_{k} = \sqrt[n]{r} (\cos \frac{θ + 2 π \cdot k}{n} + i \sin \frac{θ + 2 π \cdot k}{n})$ ･･････(8)

ところが，(8)より $z_{k + n} = z_{k}$ となるので， $k$ の値いは $0$ ， $1$ ， $2$ ，･･････， $n - 1$ となる．

よって解は求められた．

最終更新日： 2023年2月25日