z^n=αの解
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z n =α の解 

まず,

z n =α  ・・・・・・(1)

の解を

α=r( cosθ+sinθ )     ( r>0)  

とおくと

z k = r n ( cos θ+2π·k n +sin θ+2π·k n )     ( k=0,1,2,······,n1 )  ・・・・・・(2)

となる.

■導出計算

(1)の解を

z=R( cosϕ+sinϕ )    ( R>0)  ・・・・・・(3)

とおく. ド・モアブルの定理より(1)は,

R n ( cosnϕ+sinnϕ )=r( cosθ+sinθ )  ・・・・・・(4)

(4)の両辺を比較することにより,

R n =r  ・・・・・・(5)

cosnϕ=cosθ,sinnϕ=sinθ  ・・・・・・(6)

R,rは正の実数であるから,(5)より

R= r n  ・・・・・・(7)

(6)より

nϕ=θ+2π·k

ϕ= θ+2π·k n  ・・・・・・(7)

z k = r n ( cos θ+2π·k n +sin θ+2π·k n )  ・・・・・・(8)

ところが,(8)より z k+n = z k  となるので,の値いは0,1,2,・・・・・・,n−1となる.

よって解は求められた.

 

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初版:2004年7月1日,最終更新日: 2011年12月26日

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