zn=αの解
まず,
z n =α ・・・・・・(1)
の解を
α=r( cosθ+ⅈsinθ )
(
r>0)
とおくと
z
k
=
r
n
cos
θ+2π·k
n
+ⅈsin
θ+2π·k
n
(
k
=
0
,
1
,
2
,
・・・・
,
n
−
1
)
・・・・・・(2)
となる.
■導出計算
(1)の解を
z
=
R
(
cos
φ
+
ⅈ
sin
φ
)
(
R
>
0
)
・・・・・・(3)
とおく. ド・モアブルの定理より(1)は,
(4)の両辺を比較することにより,
R n =r ・・・・・・(5)
cosnϕ=cosθ,sinnϕ=sinθ ・・・・・・(6)
R,rは正の実数であるから,(5)より
R= r n ・・・・・・(7)
(6)より
nϕ=θ+2π·k
∴ϕ= θ+2π·k n ・・・・・・(7)
z
k
=
r
n
cos
θ+2π·k
n
+ⅈsin
θ+2π·k
n
・・・・・・(8)
ところが,(8)より z k+n = z k
となるので,k の値いは0,1,2,・・・・・・,n−1となる.
よって解は求められた.
ホーム>>カテゴリー分類>>複素数 >> z n =α の解 最終更新日:
2022年5月24日
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