zn=αの解
まず，
z n =α ･･････(1)
の解を
α=r( cosθ+ⅈsinθ )
(
r>0)
とおくと
z
k
=
r
n
cos
θ+2π·k
n
+ⅈsin
θ+2π·k
n
(
k
=
0
,
1
,
2
,
・・・・
,
n
−
1
)
･･････(2)
となる．
■導出計算
(1)の解を
z
=
R
(
cos
φ
+
ⅈ
sin
φ
)
(
R
>
0
)
･･････(3)
とおく． ド・モアブルの定理より(1)は，
(4)の両辺を比較することにより，
R n =r ･･････(5)
cosnϕ=cosθ,sinnϕ=sinθ ･･････(6)
R，rは正の実数であるから，(5)より
R= r n ･･････(7)
(6)より
nϕ=θ+2π·k
∴ϕ= θ+2π·k n ･･････(7)
z
k
=
r
n
cos
θ+2π·k
n
+ⅈsin
θ+2π·k
n
･･････(8)
ところが，(8)より z k+n = z k
となるので，k の値いは0，1，2，･･････，n−1となる．
よって解は求められた．
ホーム>>カテゴリー分類>>複素数 >> z n =α の解 最終更新日：
2022年5月24日
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