z^n=αの解

zn=αの解 

まず

z n =α  ・・・・・・(1)

の解を

α=r( cosθ+isinθ )     ( r>0)  

とおくと

z k = r n cos θ+2π·k n +isin θ+2π·k n     ( k = 0 , 1 , 2 , ・・・・ , n 1 )  ・・・・・・(2)

となる.

■導出計算

(1)の解を

z = R ( cos φ + i sin φ )    ( R > 0 )  ・・・・・・(3)

とおく. ド・モアブルの定理より(1)は

(4)の両辺を比較することにより

R n =r  ・・・・・・(5)

cosnϕ=cosθ,sinnϕ=sinθ  ・・・・・・(6)

R,rは正の実数であるから,(5)より

R= r n  ・・・・・・(7)

(6)より

nϕ=θ+2π·k

ϕ= θ+2π·k n  ・・・・・・(7)

z k = r n cos θ+2π·k n +isin θ+2π·k n  ・・・・・・(8)

ところが,(8)より z k+n = z k  となるので, k の値いは 0 1 2 ,・・・・・・, n1 となる.

よって解は求められた.

 

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最終更新日: 2023年2月25日