z n =α の解 

まず，

z n =α  ･･････(1)

の解を

α=r( cosθ+ⅈsinθ )     ( r>0)  

とおくと

z k = r n ( cos θ+2π·k n +ⅈsin θ+2π·k n )     ( k=0,1,2,······,n−1 )  ･･････(2)

となる．

■導出計算

(1)の解を

z=R( cosϕ+ⅈsinϕ )　　　 ( R>0)  ･･････(3)

とおく． ド・モアブルの定理より(1)は，

R n ( cosnϕ+ⅈsinnϕ )=r( cosθ+ⅈsinθ )  ･･････(4)

(4)の両辺を比較することにより，

R n =r  ･･････(5)

cosnϕ=cosθ,sinnϕ=sinθ  ･･････(6)

R，rは正の実数であるから，(5)より

R= r n  ･･････(7)

(6)より

nϕ=θ+2π·k

∴ϕ= θ+2π·k n  ･･････(7)

z k = r n ( cos θ+2π·k n +ⅈsin θ+2π·k n )  ･･････(8)

ところが，(8)より z k+n = z k  となるので，k の値いは0，1，2，･･････，n−1となる．

よって解は求められた．

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初版：2004年7月1日，最終更新日： 2011年12月26日