z^n=αの解
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zn=αの解 

まず,

z n =α  ・・・・・・(1)

の解を

α=r( cosθ+sinθ )     ( r>0)  

とおくと

z k = r n cos θ+2π·k n +sin θ+2π·k n     ( k = 0 , 1 , 2 , ・・・・ , n 1 )  ・・・・・・(2)

となる.

■導出計算

(1)の解を

z = R ( cos φ + sin φ )    ( R > 0 )  ・・・・・・(3)

とおく. ド・モアブルの定理より(1)は,

  • R n ( cos n φ + sin n φ )

  • = r ( cos θ + sin θ )  ・・・・・・(4)

(4)の両辺を比較することにより,

R n =r  ・・・・・・(5)

cosnϕ=cosθ,sinnϕ=sinθ  ・・・・・・(6)

R,rは正の実数であるから,(5)より

R= r n  ・・・・・・(7)

(6)より

nϕ=θ+2π·k

ϕ= θ+2π·k n  ・・・・・・(7)

z k = r n cos θ+2π·k n +sin θ+2π·k n  ・・・・・・(8)

ところが,(8)より z k+n = z k  となるので,の値いは0,1,2,・・・・・・,n−1となる.

よって解は求められた.

 

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最終更新日: 2022年5月24日

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