行列を用いた回転

点Q ${\displaystyle \left(X,Y\right)}$ は 点P ${\displaystyle \left(x,y\right)}$ を ${\displaystyle \beta }$ 回転させたものである． 点Pの座標の ${\displaystyle x}$ ， ${\displaystyle y}$ を ${\displaystyle r}$ と ${\displaystyle \alpha }$ で表わすと，

${\displaystyle \begin{array}{l}x=rcos\alpha \\ y=rsin\alpha \end{array}}$     ・・・・・・ (1)

点Qの座標の ${\displaystyle X}$ ， ${\displaystyle Y}$ を ${\displaystyle r}$ と ${\displaystyle \alpha }$ ， ${\displaystyle \beta }$ で表わすと，

${\displaystyle \begin{array}{l}X=rcos\left(\alpha +\beta \right)\\ Y=rsin\left(\alpha +\beta \right)\end{array}}$

加法定理を用いると，

${\displaystyle \begin{array}{l}X=r\left(cos\alpha cos\beta -sin\alpha sin\beta \right)\\ Y=r\left(sin\alpha cos\beta +cos\alpha sin\beta \right)\end{array}}$

となる．(1) を代入すると，

${\displaystyle \begin{array}{l}X=xcos\beta -ysin\beta \\ Y=xsin\beta +ycos\beta \end{array}}$

となる．この関係を行列を用いて表わすと，

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}cos\beta & -sin\beta \\ sin\beta & cos\beta \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)}$

となる．

行列  ${\displaystyle \left(\begin{array}{cc}cos\beta & -sin\beta \\ sin\beta & cos\beta \end{array}\right)}$  を回転行列といい， ${\displaystyle R_{\theta }}$ で表す．

 

 

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最終更新日： 2026年10月24日