定数倍の性質

　ここでは行列式の性質のひとつである，定数倍の性質について説明する。

　これは，行列式の1つの行（または列）の各成分に一定の数

c

　をかけた行列式の値は，元の行列式の値の

c

　倍になるという性質である。

　■定理

$| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ c a_{t 1} & c a_{t 2} & \dots & c a_{t n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix} | = c | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{t 1} & a_{t 2} & \dots & a_{t n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix} |$

また，この性質は行列式の転置における性質から，ある列の各成分に一定の数

c

　がかけられている場合でも成立する。

　■具体例

　　例1

　　　第1行の成分が3の倍数であった場合

$| \begin{matrix} 3 & 6 & 9 & 12 & 15 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 1 \\ 3 & 4 & 5 & 1 & 2 \\ 4 & 5 & 1 & 2 & 3 \\ 5 & 1 & 2 & 3 & 4 \end{matrix} | = 3 | \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 1 \\ 3 & 4 & 5 & 1 & 2 \\ 4 & 5 & 1 & 2 & 3 \\ 5 & 1 & 2 & 3 & 4 \end{matrix} |$

　　例2

　　　第5列の成分が5の倍数であった場合

$| \begin{array}{l} 1 & 2 & 3 & 4 & 25 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 5 \\ 3 & 4 & 5 & 1 & 10 \\ 4 & 5 & 1 & 2 & 15 \\ 5 & 1 & 2 & 3 & 20 \end{array} | = 5 | \begin{array}{l} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 1 \\ 3 & 4 & 5 & 1 & 2 \\ 4 & 5 & 1 & 2 & 3 \\ 5 & 1 & 2 & 3 & 4 \end{array} |$

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初版：2008年1月9日，最終更新日： 2022年8月27日