冪等べきとう行列 (idempotent matrix)

$A^{2} = A$ を満たす正方行列 $A$ を冪等行列という．

$A^{3} = A^{2} A$ $= A A = A^{2}$ $= A$

$A^{4} = A^{3} A$ $= A A = A^{2}$ $= A$

$A^{5} = A^{4} A$ $= A A = A^{2}$ $= A$

のように $A$ を何乗しても $A$ になる．

■冪等行列 $A$ の性質

$A$ の固有値は $1$ ，または， $0$ のみとなる．
●証明

$A$ の固有値を $λ$ ，固有ベクトルを $x$ ，ただし， $x \neq 0$ とする．

$A^{2} x$ の計算を以下の2通りでする．

$A^{2} x = A A x$ $= A λ x$ $= λ A x$ $= λ (λ x)$ $= λ^{2} x$ ･･････(1)

$A^{2} x = A x = λ x$ (∵ $A^{2} = A$ ･･････(2) )

(1)，(2)より

$λ^{2} x = λ x$

$λ^{2} x - λ x = 0$

$λ (λ - 1) x = 0$

$x \neq 0$ より

$λ (λ - 1) = 0$

$λ = 0, 1$

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　最終更新日： 2026年6月30日