部分空間 (subspace)

ベクトル空間の空でない部分集合で，かつ，ベクトル空間であるものを部分空間(subspace)といいう。

言い換えると，ベクトル空間${\displaystyle V}$の部分集合${\displaystyle W}$が，以下の2を満たしているとき，${\displaystyle W}$は部分空間となる．

(1) ${\displaystyle x_1\in W,x_2\in W\Rightarrow x_1+x_2\in W}$

(2) ${\displaystyle x\in W,c\in R\Rightarrow cx\in W}$　　${\displaystyle R}$は実数全体を意味する．

(1)を満たしていると，部分集合${\displaystyle W}$は「スカラー倍に関して閉じている」といい，(2)を満たしていると， 部分集合${\displaystyle W}$は「和に関して閉じている」という．

${\displaystyle n}$次元ベクトル空間${\displaystyle V}$の${\displaystyle r}$個のベクトルの組み${\displaystyle \left\{v_1,v_2,\cdots ,v_r\right\}}$の1次結合の集合全体

のことを${\displaystyle v_1,v_2,\cdots ,v_r}$ で張られる(または生成される)部分空間といい

${\displaystyle 〈v_1,v_2,\cdots ,v_r〉}$

で表す．

■具体例

${\displaystyle R^2}$ の部分集合${\displaystyle W=\left\{\left.\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\right|x+2y=0\right\}}$ について

${\displaystyle x_1=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right),x_2=\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\end{array}\right)\in W}$，${\displaystyle c\in R}$ とする．

${\displaystyle x_1=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right),x_2=\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\end{array}\right)\in W}$ より

${\displaystyle x_1+2y_1=0}$　･･････(1)

${\displaystyle x_2+2y_2=0}$　･･････(2)

となる．

${\displaystyle x_1+x_2=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_1+x_2\\ y_1+y_2\end{array}\right)}$ について

${\displaystyle \left(x_1+x_2\right)+2\left(y_1+y_2\right)=\left(x_1+2y_1\right)+\left(x_2+2y_2\right)}$${\displaystyle =0}$

（∵(1)，(2)を代入より）

よって，${\displaystyle x_1+x_2}$ は${\displaystyle W}$であるための条件を満たしており

${\displaystyle x_1+x_2\in W}$　･･････(3)

である．

${\displaystyle c{x}_1=c\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}c{x}_1\\ c{y}_1\end{array}\right)}$について

${\displaystyle c{x}_1+2c{y}_1=c\left(x_1+2y_1\right)=0}$

（∵(1)を代入より）

よって，${\displaystyle c{x}_1}$ は${\displaystyle W}$であるための条件を満たしており

${\displaystyle c{x}_1\in W}$ 　･･････(4)

である．

以上(3)，(4)より，${\displaystyle W}$ は部分空間であるための条件を満たしており，${\displaystyle W}$ は部分空間であるといえる．

　

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最終更新日：2022年7月21日