部分空間 (subspace)

ベクトル空間の空でない部分集合で，かつ，ベクトル空間であるものを部分空間(subspace)といいう．

言い換えると，ベクトル空間 ${\displaystyle V}$ の部分集合 ${\displaystyle W}$ が，以下の2を満たしているとき， ${\displaystyle W}$ は部分空間となる．

(1)  ${\displaystyle x_1\in W,x_2\in W\Rightarrow x_1+x_2\in W}$

(2)  ${\displaystyle x\in W,c\in R\Rightarrow cx\in W}$ ${\displaystyle R}$ は実数全体を意味する．

(1)を満たしていると， 部分集合 ${\displaystyle W}$ は「和に関して閉じている」といい，(２)を満たしていると，部分集合 ${\displaystyle W}$ は「スカラー倍に関して閉じている」という．

${\displaystyle n}$ 次元ベクトル空間 ${\displaystyle V}$ の ${\displaystyle r}$ 個のベクトルの組み ${\displaystyle \left\{v_1,v_2,\cdots ,v_r\right\}}$ の1次結合の集合全体

のことを ${\displaystyle v_1,v_2,\cdots ,v_r}$ で張られる(または生成される)部分空間といい

${\displaystyle 〈v_1,v_2,\cdots ,v_r〉}$

で表す．

■具体例

${\displaystyle R^2}$ の部分集合 ${\displaystyle W=\left\{\left.\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\right|x+2y=0\right\}}$ について

${\displaystyle x_1=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right),x_2=\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\end{array}\right)\in W}$ ， ${\displaystyle c\in R}$ とする．

${\displaystyle x_1=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right),x_2=\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\end{array}\right)\in W}$ より

${\displaystyle x_1+2y_1=0}$ ･･････(1)

${\displaystyle x_2+2y_2=0}$ ･･････(2)

となる．

${\displaystyle x_1+x_2=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_1+x_2\\ y_1+y_2\end{array}\right)}$ について

${\displaystyle \left(x_1+x_2\right)+2\left(y_1+y_2\right)=\left(x_1+2y_1\right)+\left(x_2+2y_2\right)}$ ${\displaystyle =0}$

（∵(1)，(2)を代入より）

よって， ${\displaystyle x_1+x_2}$ は ${\displaystyle W}$ であるための条件を満たしており

${\displaystyle x_1+x_2\in W}$ ･･････(3)

である．

${\displaystyle c{x}_1=c\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}c{x}_1\\ c{y}_1\end{array}\right)}$ について

${\displaystyle c{x}_1+2c{y}_1=c\left(x_1+2y_1\right)=0}$

（∵(1)を代入より）

よって， ${\displaystyle c{x}_1}$ は ${\displaystyle W}$ であるための条件を満たしており

${\displaystyle c{x}_1\in W}$ ･･････(4)

である．

以上(3)，(4)より， ${\displaystyle W}$ は部分空間であるための条件を満たしており， ${\displaystyle W}$ は部分空間であるといえる．

　

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最終更新日：2025年8月8日