トレースの性質1

$A$ ， $B$ は $n$ 次正方行列のとき

$tr (A \pm B) = tr A \pm tr B$

が成り立つ

■証明

$A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix})$ ･･････(1)

$B = (\begin{matrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1 n} \\ a_{21} & b_{22} & \dots & b_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ b_{n 1} & b_{n 2} & \dots & b_{n n} \end{matrix})$ ･･････(2)

とすと

$A \pm B$ $= (\begin{matrix} a_{11} \pm b_{11} & a_{12} \pm b_{12} & \dots & a_{1 n} \pm b_{1 n} \\ a_{21} \pm b_{21} & a_{22} \pm b_{22} & \dots & a_{2 n} \pm b_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} \pm b_{n 1} & a_{n 2} \pm b_{n 2} & \dots & a_{n n} \pm b_{n n} \end{matrix})$ ･･････(3)

となる．

(1)より

$tr A = \sum_{i = 1}^{n} a_{i i}$ ･･････(4)

(2)より

$tr B = \sum_{i = 1}^{n} b_{i i}$ ･･････(5)

(3)より

$tr (A \pm B) = \sum_{i = 1}^{n} (a_{i i} \pm b_{i i})$ ･･････(6)

となる．Σの性質(1)より

$= \sum_{i = 1}^{n} a_{i i} \pm \sum_{i = 1}^{n} b_{i i}$

(4)，(5)より

$= tr A \pm tr B$

となる．以上より証明された．

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最終更新日：2026年9月24日