トレースの性質1

$A$， $B$ は $n$ 次正方行列のとき

${\displaystyle \text{tr}\left(A\pm B\right)=\text{tr}A\pm \text{tr}B}$

が成り立つ

■証明

${\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right)}$  ･･････(1)

${\displaystyle B=\left(\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& \cdots & b_{1n}\\ a_{21}& b_{22}& \cdots & b_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ b_{n1}& b_{n2}& \cdots & b_{nn}\end{array}\right)}$  ･･････(2)

とすと

${\displaystyle A\pm B}$${\displaystyle =\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}\pm b_{11}& a_{12}\pm b_{12}& \cdots & a_{1n}\pm b_{1n}\\ a_{21}\pm b_{21}& a_{22}\pm b_{22}& \cdots & a_{2n}\pm b_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}\pm b_{n1}& a_{n2}\pm b_{n2}& \cdots & a_{nn}\pm b_{nn}\end{array}\right)}$  ･･････(3)

となる．

(1)より

${\displaystyle \text{tr}A={\displaystyle \sum }_{i=1}^n{a}_{ii}}$  ･･････(4)

(2)より

${\displaystyle \text{tr}B={\displaystyle \sum }_{i=1}^n{b}_{ii}}$  ･･････(5)

(3)より

${\displaystyle \text{tr}\left(A\pm B\right)={\displaystyle \sum }_{i=1}^n\left(a_{ii}\pm b_{ii}\right)}$  ･･････(6)

となる．Σの性質(1)より

${\displaystyle ={\displaystyle \sum }_{i=1}^n{a}_{ii}\pm {\displaystyle \sum }_{i=1}^n{b}_{ii}}$

(4)，(5)より

${\displaystyle =\text{tr}A\pm \text{tr}B}$

となる．以上より証明された．

 

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最終更新日：2026年7月13日