余因子

$n$ 次の正方行列 $A$

$A = (\begin{matrix} a_{11} & \dots & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & \dots & a_{n n} \end{matrix})$

の $a_{i j}$ の余因子( ${\tilde{a}}_{i j}$ と書く)を

${\tilde{a}}_{i j} = {(- 1)}^{i + j} |\begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 (j - 1)} & a_{1 (j + 1)} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{(i - 1) 1} & \dots & \dots & a_{(i - 1) 1} \\ a_{(i + 1) 1} & \dots & \dots & a_{(i + 1) 1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & a_{n (j - 1)} & a_{n (j + 1)} & \dots & a_{n n} \end{matrix}|$

と定める．つまり， $A$ の行列式 $| A |$ から $j$ 列の $a_{1 j}$ ～ $a_{n j}$ までの成分と， $i$ 行の $a_{i 1}$ ～ $a_{i n}$ 　までの成分を削除し得られる $(n - 1)$ 次の行列式に

${(- 1)}^{i + j}$ 　をかけたものを余因子という．

■具体例

$A = (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix})$

${\tilde{a}}_{11}$	$= {(- 1)}^{1 + 1} \|\begin{matrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{matrix}\|$
	$= (5 \times 9 - 8 \times 6)$
	$= - 3$

${\tilde{a}}_{12}$	$= {(- 1)}^{1 + 2} \|\begin{matrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{matrix}\|$
	$= (4 \times 9 - 7 \times 6)$
	$= - 6$

${\tilde{a}}_{13}$	$= {(- 1)}^{1 + 3} \|\begin{matrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{matrix}\|$
	$= (4 \times 8 - 7 \times 5)$
	$= - 3$

${\tilde{a}}_{21}$	$= {(- 1)}^{2 + 1} \|\begin{matrix} 2 & 3 \\ 8 & 9 \end{matrix}\|$
	$= (2 \times 9 - 8 \times 3)$
	$= - 6$

${\tilde{a}}_{22}$	$= {(- 1)}^{2 + 2} \|\begin{matrix} 1 & 3 \\ 7 & 9 \end{matrix}\|$
	$= (1 \times 9 - 7 \times 3)$
	$= - 12$

${\tilde{a}}_{23}$	$= {(- 1)}^{2 + 3} \|\begin{matrix} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{matrix}\|$
	$= (1 \times 8 - 7 \times 2)$
	$= - 6$

${\tilde{a}}_{31}$	$= {(- 1)}^{3 + 1} \|\begin{matrix} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{matrix}\|$
	$= (2 \times 6 - 5 \times 3)$
	$= - 3$

${\tilde{a}}_{32}$	$= {(- 1)}^{3 + 2} \|\begin{matrix} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{matrix}\|$
	$= (1 \times 6 - 4 \times 3)$
	$= - 6$

${\tilde{a}}_{33}$	$= {(- 1)}^{3 + 3} \|\begin{matrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{matrix}\|$
	$= (1 \times 5 - 4 \times 2)$
	$= - 3$

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最終更新日： 2023年2月9日