単位行列

となる．行列の積より，

${\displaystyle \left(\begin{array}{cc}ap+br& aq+bs\\ cp+dr& cq+ds\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)}$

と計算され，行列の各成分を比較することにより，連立方程式

${\displaystyle \{\begin{array}{l}ap+br=a\\ aq+bs=b\\ cp+dr=c\\ cq+ds=d\end{array}}$

が得られる．この連立方程式を整理すると，

${\displaystyle \{\begin{array}{l}a\left(p-1\right)+br=0\cdots \cdots (1)\\ aq+b\left(s-1\right)=0\cdots \cdots (2)\\ c\left(p-1\right)+dr=0\cdots \cdots (3)\\ cq+d\left(s-1\right)=0\cdots \cdots (4)\end{array}}$

となる．${\displaystyle (1)\times c-(3)\times a}$ より，

${\displaystyle r\left(bc-ad\right)=0}$

この等式が任意の行列${\displaystyle A}$ で成り立つためには，${\displaystyle r=0}$ でなければならない．(1)に${\displaystyle r=0}$ を代入すると，

${\displaystyle a\left(p-1\right)=0}$

この等式が任意の行列${\displaystyle A}$ で成り立つためには，${\displaystyle p=1}$ でなければならない．

また，．${\displaystyle (2)\times d-(4)\times b}$ より，

${\displaystyle q\left(ad-bc\right)=0}$

この等式が任意の行列${\displaystyle A}$ で成り立つためには，${\displaystyle q=0}$ でなければならない．(2)に${\displaystyle q=0}$ を代入すると，

${\displaystyle b\left(s-1\right)=0}$

この等式が任意の行列${\displaystyle A}$ で成り立つためには，${\displaystyle s=1}$ でなければならない．

以上より，単位行列E は

${\displaystyle E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)}$

と導かれる．${\displaystyle EA=A}$  の場合も同様にして${\displaystyle E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)}$ を導くことができる．

■用語

正方行列：行の数と列の数が等しい行列のことである．

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最終更新日： 2023年2月9日