転置行列の証明3

( αA ) t =α A t の証明

行列 A=( a ij ) 転置行列を行列 C=( c ji ) とする.

また, αA=E=( e ij ) とし,

行列 E = ( e i j ) の転置行列を行列 F = ( f j i ) とする.

式で表すと

A t =C

となる.各成分では

a ij = c ji e ij =α a ij

の関係がある.したがって

( α A ) t = ( α a i j ) t = ( e i j ) t = E t = F = ( f j i )

f ji = e ij =α a ij =α c ji より

=( α c ji )=α( c ji )=αC=α t A

となり

( αA ) t =α A t

が成り立つ.

■具体例

A=( a 11 a 12 a 21 a 22 ) とする.

( α A ) t = ( α a 11 α a 12 α a 21 α a 22 ) t

=( αa 11 α a 21 α a 12 α a 22 )

=α( a 11 a 21 a 12 a 22 )

=α A t

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最終更新日: 2022年6月22日