${\displaystyle {}^t\left(\alpha A\right)=\alpha }$${\displaystyle {}^{t}A}$の証明

行列 ${\displaystyle A=\left(a_{ij}\right)}$ の転置行列を行列${\displaystyle C=\left(c_{ji}\right)}$とする．

また，${\displaystyle \alpha A=E=\left(e_{ij}\right)}$ とし，

行列 ${\displaystyle E=\left(e_{ij}\right)}$ の転置行列を行列 ${\displaystyle F=\left(f_{ji}\right)}$ とする．

式で表すと

${\displaystyle {}^{t}A=C}$

となる．各成分では

${\displaystyle a_{ij}=c_{ji}}$，${\displaystyle e_{ij}=\alpha a_{ij}}$

の関係がある．したがって

${\displaystyle {}^t\left(\alpha A\right)={}^t\left(\alpha a_{ij}\right)={}^t\left(e_{ij}\right)={}^{t}E}$${\displaystyle =F=\left(f_{ji}\right)}$

${\displaystyle f_{ji}=e_{ij}=\alpha a_{ij}=\alpha c_{ji}}$より

${\displaystyle =\left(\alpha c_{ji}\right)=\alpha \left(c_{ji}\right)=\alpha C=\alpha {}^{t}A}$

となり

${\displaystyle {}^t\left(\alpha A\right)=\alpha }$${\displaystyle {}^{t}A}$

が成り立つ．

■具体例

${\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)}$とする．

${\displaystyle {}^t\left(\alpha A\right)={}^t\left(\begin{array}{cc}{\alpha a}_{11}& \alpha a_{12}\\ \alpha a_{21}& \alpha a_{22}\end{array}\right)}$

${\displaystyle =\left(\begin{array}{cc}{\alpha a}_{11}& \alpha a_{21}\\ \alpha a_{12}& \alpha a_{22}\end{array}\right)}$

${\displaystyle =\alpha \left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{21}\\ a_{12}& a_{22}\end{array}\right)}$

${\displaystyle =\alpha }$${\displaystyle {}^{t}A}$

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最終更新日： 2024年11月22日