二項分布

離散型確率変数 X確率関数(確率分布)

f x = C n x p x q nx     ( p>0,q>0,p+q=1;x=0,1,2,,n )

となるものを二項分布といい,確率変数 X 二項分布 B( n,p ) に従うという.

二項分布 B( n,p ) について

平均 E( X )=np

分散 V( X )=npq

である.

二項分布の確率関数は,二項定理

q+p n = x=0 n n C x q nx p x = x=0 n n C x p x q nx = x=0 n f x =1

の各項に対応している.

E X を求める計算

E X = x=0 n xf x  平均を参照)

= x=0 n x C n x p x q nx

x=0 のとき, xf x =0 となるので, x=1 から始めても の値はかわらない.よって

= x=1 n x C n x p x q nx

= x=1 n xn! x! nx ! p x q nx  組合わせ C r n を参照)

= x=1 n xn n1 ! x! nx ! p p x1 q nx

=np x=1 n n1 ! x1 ! nx ! p x1 q nx

x1=y とおいて式を書きかえる.

=np y=0 n1 n1 ! y! n y+1 ! p y q n y+1

n1=m とおいて式を書きかえる.

=np y=0 m m! y! my ! p y q my

=np p+q m  二項定理を参照)

p+q=1 より

=np

V X を求める計算

V X =E X 2 E X 2  分散を参照)

=E X X1 +X E X 2

=E X X1 +E X E X 2

= x=0 n x x1 f x +np np 2

= x=0 n x x1 C n x p x q nx +np np 2

x=0 x=1 のとき, x x1 f x =0 となるので, x=2 から始めても の値はかわらない.よって

= x=2 n x x1 C n x p x q nx +np np 2

= x=2 n x x1 n! x! nx ! p x q nx +np np 2  組合わせ C r n を参照)

= x=2 n n n1 n2 ! x2 ! nx ! p 2 p x2 q nx +np np 2

=n n1 p 2 x=2 n n2 ! x2 ! nx ! p x2 q nx +np np 2

x2=y とおいて式を書きかえる.

=n n1 p 2 y=0 n2 n2 ! y! n y+2 ! p y q n y+2 +np np 2

n2=l とおいて式を書きかえる.

=n n1 p 2 y=0 n2 l! y! ly ! p y q ly +np np 2

=n n1 p 2 p+q l +np np 2  二項定理を参照)

p+q=1 より

=n n1 p 2 +np np 2

= np 2 n p 2 +np np 2

=np 1p

=npq

 

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最終更新日: 2024年2月10日