二項定理
(
a
+
b
)
n
=
n
C
0
a
n
+
n
C
1
a
n
−
1
b
+
n
C
2
a
n
−
2
b
2
+
⋯
⋯
+
n
C
r
a
n
−
r
b
r
+
⋯
⋯
+
n
C
n
b
n
=
∑
r
=
0
n
n
C
r
a
n
−
r
b
r
一般項： n C r a n−r b r ( r=0,1,2,⋯⋯,n )
二項係数：
n
C
r
=
n
!
r
!
(
n
−
r
)
!
=
n
(
n
−
1
)
(
n
−
2
)
⋯
(
n
−
r
+
1
)
r
!
n
C
r
=
n
−
1
C
r
−
1
+
n
−
1
C
r
(
n
≥
2
)
,
n
C
r
=
n
C
n
−
r
特に，
n
C
0
=
n
C
n
=
1
■二項定理の導出
( a+b ) n の二項展開を n=1 から順に計算してみる．
( a+b ) 1 =1·a+1·b
(
a
+
b
)
2
=
(
a
+
b
)
(
a
+
b
)
=
(
a
+
b
)
a
+
(
a
+
b
)
b
=
a
a
+
b
a
+
a
b
+
b
b
（単項式の数は
2
×
2
=
4
）
=
1
·
a
2
+
1
·
a
b
+
1
·
a
b
+
1
·
b
2
=
1
·
a
2
+
(
1
+
1
)
a
b
+
1
·
b
2
=
1
·
a
2
+
2
·
a
b
+
1
·
b
2
(
a
+
b
)
3
=
(
a
+
b
)
2
(
a
+
b
)
=
{
(
a
+
b
)
a
+
(
a
+
b
)
b
}
(
a
+
b
)
=
{
(
a
+
b
)
a
+
(
a
+
b
)
b
}
a
+
{
(
a
+
b
)
a
+
(
a
+
b
)
b
}
b
（単項式の数は
2
×
2
×
2
=
8
）
=
a
a
a
+
b
a
a
+
a
b
a
+
b
b
a
+
a
a
b
+
b
a
b
+
a
b
b
+
b
b
b
=
{
1
·
a
2
+
2
·
a
b
+
1
·
b
2
}
a
+
{
1
·
a
2
+
2
·
a
b
+
1
·
b
2
}
b
=
1
·
a
3
+
2
·
a
2
b
+
1
·
a
b
2
+
1
·
a
2
b
+
2
·
a
b
2
+
1
·
b
3
=
1
·
a
3
+
(
2
+
1
)
a
2
b
+
(
1
+
2
)
a
b
2
+
1
·
b
3
=
1
·
a
3
+
3
·
a
2
b
+
3
·
a
b
2
+
1
·
b
3
(
a
+
b
)
4
=
(
a
+
b
)
3
(
a
+
b
)
=
[
{
(
a
+
b
)
a
+
(
a
+
b
)
b
}
a
+
{
(
a
+
b
)
a
+
(
a
+
b
)
b
}
b
]
(
a
+
b
)
=
1
·
a
4
+
4
·
a
3
b
+
6
·
a
2
b
2
+
4
·
a
b
3
+
1
·
b
4
=
a
a
a
a
+
b
a
a
a
+
a
b
a
a
+
b
b
a
a
+
a
a
b
a
+
b
a
b
a
+
a
b
b
a
+
b
b
b
a
+
a
a
a
b
+
b
a
a
b
+
a
b
a
b
+
b
b
a
b
+
a
a
b
b
+
b
a
b
b
+
a
b
b
b
+
b
b
b
b
（単項式の数は
2
×
2
×
2
×
2
=
16
）
=
(
1
·
a
3
+
3
·
a
2
b
+
3
·
a
b
2
+
1
·
b
3
)
a
+
(
1
·
a
3
+
3
·
a
2
b
+
3
·
a
b
2
+
1
·
b
3
)
b
=
1
·
a
4
+
3
·
a
3
b
+
3
·
a
2
b
2
+
1
·
a
b
3
+
1
·
a
3
b
+
3
·
a
2
b
2
+
3
·
a
b
3
+
1
·
b
4
=
1
·
a
4
+
(
3
+
1
)
a
3
b
+
(
3
+
3
)
a
2
b
2
+
(
1
+
3
)
·
a
b
3
+
1
·
b
4
=
1
·
a
4
+
4
·
a
3
b
+
6
·
a
2
b
2
+
4
·
a
b
3
+
1
·
b
4
以上4乗まで計算した．これらから， ( a+b ) n を展開すると単項式は
2 n でき， a n−r b r
の単項式は
a と b から成る n 個の文字列中から b の文字が入る位置を r 個選ぶ組合せに等しいことが推測できる． よって，
( a+b ) n = ∑ r=0 n n C r a n−r b r ･･････(1)
となることがわかる．これを数学的帰納法を用いて証明する．
n=1 のとき，
a+b
1
=
1
C
0
a
1
b
0
+
1
C
1
a
0
b
1
=a+b
となり，(1)は成り立つ．
n=k のとき，(1)が成りたつと仮定すると，すなわち
( a+b ) k = ∑ r=0 k k C r a k−r b r
が成り立つと仮定する．
( a+b ) k+1 =( a+b ) ( a+b ) k
=( a+b ) ∑ r=0 k k C r a k−r b r
= ∑ r=0 k k C r a· a k−r b r + ∑ r=0 k k C r a k−r b· b r
= ∑ r=0 k k C r a k−r+1 b r + ∑ r=0 k k C r a k−r b r+1
第2項の
∑
r
=
0
k
k
C
r
a
k
−
r
b
r
+
1
において
r
+
1
=
s
，
r
=
s
−
1
として，式を書き換えると
= ∑ r=0 k k C r a k−r+1 b r
+ ∑ s=1 k+1 k C s-1 a k−
(s−1) b s
第2項の
s
を
r
に書き換えて，式を少し変形すると，
=
∑
r
=
0
k
k
C
r
a
(
k
+
1
)
−
r
b
r
+
∑
r
=
1
k
+
1
k
C
r
-
1
a
(
k
+
1
)
−
r
b
r
=
k
C
0
a
k
+
1
+
∑
r
=
1
k
k
C
r
a
(
k
+
1
)
−
r
b
r
+
∑
r
=
1
k
k
C
r
−
1
a
(
k
+
1
)
−
r
b
r
+
k
+
1
C
k
+
1
b
k
+
1
ここで
k
C
r
+
k
C
r−1
=
k
k−1
k−2
⋯
k−r+1
r!
+
k
k−1
k−2
⋯
k−r+2
r−1
!
=
k
k−1
k−2
⋯
k−r+2
r−1
!
k−r+1
r
+1
=
k+1
k
k−1
k−2
⋯
k−r+2
r!
=
k+1
C
r
より （この関係からパスカルの三角形が得られる）
=
k
C
0
a
k
+
1
+
∑
r
=
1
k
k
+
1
C
r
a
(
k
+
1
)
−
r
b
r
+
k
+
1
C
k
+
1
b
k
+
1
=
∑
r
=
0
k
+
1
k
+
1
C
r
a
(
k
+
1
)
−
r
b
r
よって， n=k+1 のときも(1)が成り立ち，数学的帰納法により，(1)はすべての自然数 a に対して成り立つ．
( a+b ) n の係数は，上述した具体的な計算事例と k C r + k C r−1 = k+1 C r の関係から，パスカルの三角形が得られる．
パスカルの三角形を下に示す．
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最終更新日：
2022年11月22日
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