XYが独立な確率変数の場合: C X,Y =0

独立な2つの確率変数 X Y について

C X,Y =0  ・・・・・・(1)

が成り立つ.

■証明

確率関数 f x g y を以下のように定める.

P X= x i =f x i

P Y= y j =g y j

P X= x i Y= y j =h x i , y j h x , y

さらに

μ x = i=1 m x i f x i

μ y = j=1 n y j g y j

XYが独立であることより

h x i , y j =f x i g y j

が成り立つ.この関係を利用して,以下のように証明をする.

C X,Y = i=1 m j=1 n x i μ x y j μ y h x i , y j

= i=1 m j=1 n x i μ x y j μ y f x i g y j

= i=1 m j=1 n x i μ x f x i y j μ y g y j

= i=1 m x i μ x f x i j=1 n y j μ y g y j

= i=1 m x i μ x f x i j=1 n y j μ y g y j

= i=1 m x i f x i μ x f x i j=1 n y j g y j μ y g y j

= i=1 m x i f x i μ x i=1 m f x i j=1 n y j g y j μ y j=1 n g y j

= μ x μ x 1 μ y μ y 1

=0

●別解

共分散の定義より

C X,Y =E XY E X E Y

X Y が独立より, E X Y = E Y E Y である(ここを参照).よって

C X , Y = 0

 

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最終更新日: 2024年2月24日