決定係数と相関係数の関係

変量$X$と$Y$の組のデータを用いた線形単回帰分析では， 決定係数 ${\displaystyle R^2}$ は，相関係数 ${\displaystyle r}$ の2乗と等しい．

■証明

決定係数のページの(１)より

${\displaystyle R^2=\frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\left({\widehat{y}}_i-\overline{\widehat{y}}\right)}^2}}{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\left(y_i-\overline{y}\right)}^2}}}$

${\displaystyle {\widehat{y}}_i={\beta }_0+{\beta }_1{x}_i}$ ，${\displaystyle \overline{\widehat{y}}=\overline{y}={\beta }_0+{\beta }_1\overline{x}}$ （線形単回帰分析を参照）より

${\displaystyle =\frac{{\displaystyle \sum }_{i=1}^n{\left\{\left({\beta }_0+{\beta }_1{x}_i\right)-\left({\beta }_0+{\beta }_1\overline{x}\right)\right\}}^2}{{\displaystyle \sum }_{i=1}^n{\left(y_i-\overline{y}\right)}^2}}$

${\displaystyle =\frac{{\displaystyle \sum }_{i=1}^n{\left\{{\beta }_1\left(x_i-\overline{x}\right)\right\}}^2}{{\displaystyle \sum }_{i=1}^n{\left(y_i-\overline{y}\right)}^2}}$

${\displaystyle =\frac{{\beta }_1^2{\displaystyle \sum }_{i=1}^n{\left(x_i-\overline{x}\right)}^2}{{\displaystyle \sum }_{i=1}^n{\left(y_i-\overline{y}\right)}^2}}$

${\displaystyle \frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{\left(x_i-\overline{x}\right)}^2={\sigma }_x^2}$ ，${\displaystyle \frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{\left(y_i-\overline{y}\right)}^2={\sigma }_y^2}$，${\displaystyle {\beta }_1=\frac{{\sigma }_{xy}}{{\sigma }_x^2}}$ （線形単回帰分析を参照） より

${\displaystyle =\frac{{\left(\frac{{\sigma }_{xy}}{{\sigma }_x^2}\right)}^{2}n{\sigma }_x^2}{n{\sigma }_y^2}={\left(\frac{{\sigma }_{xy}}{{\sigma }_x{\sigma }_y}\right)}^2=r^2}$

となる．

 

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　最終更新日： 2026年6月26日