期待値 (expected value)

確率変数 ${\displaystyle X}$ の実現値の平均のことを期待値 (expected value) といい， ${\displaystyle E\left(X\right)}$ と表現する（ ${\displaystyle E}$ は期待値の英語表記 Expected value の頭文字である ）．

●離散型確率変数の場合

${\displaystyle E\left(X\right)=\sum _{i=1}^n{x}_{i}f\left(x_i\right)}$

${\displaystyle f\left(x\right)}$ は確率変数 ${\displaystyle X}$ の確率関数 （ ${\displaystyle x}$ は ${\displaystyle X}$ の実現値 ）

●連続型確率変数の場合

${\displaystyle E\left(X\right)={\int }_{-\infty }^{\infty }xf\left(x\right)dx}$

${\displaystyle f\left(x\right)}$ は確率変数 ${\displaystyle X}$ の確率密度関数 （ ${\displaystyle x}$ は ${\displaystyle X}$ の実現値 ）

と定義される．確率関数，確率密度関数の性質として

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f\left(x_i\right)=1}$ （離散型確率変数の場合）

${\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }f\left(x\right)dx=1}$ （連続型確率変数の場合）

であるので，上式は， ${\displaystyle f\left(x_i\right)}$ または ${\displaystyle f\left(x\right)}$ を重みとして加重平均をとったものと考えることができる．離散型確率変数の場合において，すべての実現値が等確率で起こるならば， ${\displaystyle f\left(x_i\right)=\frac{1}{n}}$ となり，期待値 ${\displaystyle E\left(X\right)}$ は算術平均で求められる．

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　最終更新日： 2026年4月9日