標本の平均と分散の期待値

前提：母集団の中から， $n$ 個の標本を取り出す（取り出した標本は，すぐに母集団に戻し，次の標本を取り出す復元抽出）試行を考える．ただし，母平均を $\mu$ ， 母分散を $\sigma$ とする．

標本の平均と分散の期待値は

標本の平均の期待値： $\mu$

標本の分散の期待値： ${\displaystyle \frac{n-1}{n}{\sigma }^2}$

となる．

■導出

母集団の中から， $n$ 個の標本を取り出す（取り出した標本は，すぐに母集団に戻し，次の標本を取り出す復元抽出）試行を考える．

1回目の試行で取り出したデータを

$x_{11}$ ， $x_{12}$ ， $\cdots$ ， $x_{1n}$

2回目の試行で取り出したデータを

$x_{21}$ ， $x_{22}$ ， $\cdots$ ， $x_{2n}$

$i$ 回目の試行で取り出したデータを

$x_{i1}$ ， $x_{i2}$ ， $\cdots$ ， $x_{in}$

と表記する．

各試行で得られた $x_{i1}$ ， $x_{i2}$ ， $\cdots$ ， $x_{in}$ が生じる各確率は一定の確率で表されるので確率変数になる．それらの確率変数を $X_1$ ， $X_2$ ， $\cdots$ ， $X_n$ とする．また，各試行の標本の平均を ${\mu }_i$ ，標本の分散を ${\displaystyle {\sigma }_i{}^2}$ とする．標本平均 ${\mu }_i$ ，標本分散 ${\displaystyle {\sigma }_i{}^2}$ も確率変数となり，それぞれを， $M$ と $S$ で表すことにする．以上の内容を表でまとめると以下のようになる．

また

$X_1$ ， $X_2$ ， $\cdots$ ， $X_n$ は互いに独立

である．

確率変数 $M$ ， $S$ の期待値を，(5)，(6)の関係を用いて，母平均 $\mu$ ， 母分散 ${\displaystyle {\sigma }^2}$ を用いて表すことを試みる．

${\displaystyle E\left(M\right)=E\left(\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{j=1}^n{X}_j}\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{n}E\left({\displaystyle \sum _{j=1}^n{X}_j}\right)}$  (ここを参照)

${\displaystyle =\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}E\left(X_j\right)}}$  (ここを参照)

(5)より

${\displaystyle =\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{j=1}^n\mu }}$

${\displaystyle =\frac{1}{n}n\mu }$

${\displaystyle =\mu }$

標本の平均の期待値は母平均と一致する．

${\displaystyle S=\frac{1}{n}{\displaystyle \sum }_{j=1}^n{\left(X_i-M\right)}^2}$

${\displaystyle =\frac{1}{n}{\displaystyle \sum }_{j=1}^n{\left(\left(X_j-\mu \right)+\left(\mu -M\right)\right)}^2}$

${\displaystyle =\frac{1}{n}{\displaystyle \sum }_{j=1}^n\left\{{\left(X_j-\mu \right)}^2+2\left(X_j-\mu \right)\left(\mu -M\right)+{\left(\mu -M\right)}^2\right\}}$

紛らわしいのを避けるため，(4)より ${\displaystyle M=\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{k=1}^n{X}_k}}$ と考えると． ${\displaystyle \left(\mu -M\right)}$ は ${\displaystyle {\displaystyle \sum }_{j=1}^n}$ の外にくくり出せる．

${\displaystyle =\frac{1}{n}{\displaystyle \sum }_{j=1}^n{\left(X_j-\mu \right)}^2}$ ${\displaystyle +2\frac{1}{n}{\displaystyle \sum }_{j=1}^n\left(X_j-\mu \right)\left(\mu -M\right)}$ ${\displaystyle +\frac{1}{n}{\displaystyle \sum }_{j=1}^n{\left(\mu -M\right)}^2}$

${\displaystyle =\frac{1}{n}{\displaystyle \sum }_{j=1}^n{\left(X_j-\mu \right)}^2}$ ${\displaystyle +2\left(\mu -M\right)\frac{1}{n}{\displaystyle \sum }_{j=1}^n\left(X_j-\mu \right)}$ ${\displaystyle +\frac{1}{n}{\displaystyle \sum }_{j=1}^n{\left(\mu -M\right)}^2}$

(3)より

${\displaystyle =\frac{1}{n}\sum _{j=1}^n{\left(X_j-\mu \right)}^2}$${\displaystyle +2\left(\mu -M\right)\left(\frac{1}{n}\sum _{j=1}^n{X}_j-\frac{1}{n}\sum _{j=1}^n\mu \right)}$ ${\displaystyle +\frac{1}{n}\sum _{j=1}^n{\left(\mu -M\right)}^2}$

${\displaystyle =\frac{1}{n}\sum _{j=1}^n{\left(X_j-\mu \right)}^2}$ ${\displaystyle 2\left(\mu -M\right)\left(M-\mu \right)}$ ${\displaystyle +{\left(\mu -M\right)}^2}$

${\displaystyle =\frac{1}{n}\sum _{j=1}^n{\left(X_j-\mu \right)}^2-{\left(\mu -M\right)}^2}$

よって

${\displaystyle E\left(S\right)=E\left(\frac{1}{n}\sum _{j=1}^n{\left(X_j-\mu \right)}^2-{\left(\mu -M\right)}^2\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}E{\left(X_j-\mu \right)}^2}-E{\left(M-\mu \right)}^2}$

${\displaystyle =\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{j=1}^n{\sigma }^2}-V\left(M\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{n}n{\sigma }^2-V\left(\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{j=1}^n{X}_j}\right)}$

${\displaystyle ={\sigma }^2-{\left(\frac{1}{n}\right)}^{2}V\left({\displaystyle \sum _{j=1}^n{X}_j}\right)}$  (ここを参照)

${\displaystyle ={\sigma }^2-{\left(\frac{1}{n}\right)}^2{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}V\left(X_j\right)}}$  (ここを参照)

(6)より

${\displaystyle ={\sigma }^2-{\left(\frac{1}{n}\right)}^2{\displaystyle \sum _{j=1}^n{\sigma }^2}}$

${\displaystyle ={\sigma }^2-{\left(\frac{1}{n}\right)}^{2}n{\sigma }^2}$

${\displaystyle ={\sigma }^2-\frac{1}{n}{\sigma }^2}$

${\displaystyle =\frac{n-1}{n}{\sigma }^2}$

標本の分散の期待値は母分散 $\sigma$ の ${\displaystyle \frac{n-1}{n}}$ 倍になる．

　

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最終更新日： 2026年5月12日