標本の平均と分散の期待値

前提：データ数が$m$個の母集合の中から、$n$個の標本を取り出す（取り出した標本は，すぐに母集合に戻し，次の標本を取り出す復元抽出）試行を考える。ただし，母平均を $\mu$ ， 母分散を $\sigma$ とする．

標本の平均と分散の期待値は

標本の平均の期待値： $\mu$

標本の分散の期待値： ${\displaystyle \frac{n-1}{n}{\sigma }^2}$

となる．

■導出

データ数が$m$個の母集合の中から、$n$個の標本を取り出す（取り出した標本は，すぐに母集合に戻し，次の標本を取り出す復元抽出）試行を考える．

1回目の試行で取り出したデータを

$x_{11}$， $x_{12}$， $\cdots$， $x_{1n}$

2回目の試行で取り出したデータを

$x_{21}$， $x_{22}$， $\cdots$， $x_{2n}$

$i$回目の試行で取り出したデータを

$x_{i1}$， $x_{i2}$， $\cdots$， $x_{in}$

と表記する．

各試行($i$回目)の試行で得られた $x_{i1}$， $x_{i2}$， $\cdots$， $x_{in}$ が生じる各確率は一定の確率で表されるので確率変数になる．それらの確率変数を $X_1$， $X_2$， $\cdots$， $X_n$ とすると

${\displaystyle X_1=x_{11},x_{21},\cdots ,x_{i1},\cdots }$

${\displaystyle X_2=x_{12},x_{22},\cdots ,x_{i2},\cdots }$

　　$⋮$

${\displaystyle X_n=x_{1n},x_{2n},\cdots ,x_{in},\cdots }$

になり，$X_1$， $X_2$， $\cdots$， $X_n$ は互いに独立である．

母平均を $\mu$ ，母分散を ${\displaystyle {\sigma }^2}$ とすると，前提条件より

${\displaystyle E\left(X_i\right)=\mu }$　･･････(1)

${\displaystyle V\left(X_i\right)={\sigma }^2}$　･･････(2)

となる．

また，各試行($i$回目の試行としている)の標本の平均を ${\mu }_i$ ，標本の分散を ${\displaystyle {\sigma }_i{}^2}$ とすると

${\displaystyle {\mu }_i=\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{x}_i}}$

${\displaystyle {\sigma }_i{}^2=\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\left(x_i-{\mu }_i\right)}^2}}$

となる．この標本の平均 ${\mu }_i$ ，標本の分散 ${\displaystyle {\sigma }_i{}^2}$ も確率変数となり，それぞれ， $M$ と $T^2$ で表すことにすると

${\displaystyle M=\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{X}_i}}$

${\displaystyle T^2=\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\left(X_i-M\right)}^2}}$

となる．

確率変数 $M$ ， $T^2$ の期待値を，(1)，(2)の関係を用いて，母平均 $\mu$ ， 母分散 ${\displaystyle {\sigma }^2}$ を用いて表すことを試みる．

${\displaystyle E\left(M\right)=E\left(\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{X}_i}\right)}$${\displaystyle =\frac{1}{n}E\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{X}_i}\right)}$ ${\displaystyle =\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}E\left(X_i\right)}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{i=1}^n\mu }}$ ${\displaystyle =\frac{1}{n}n\mu }$ ${\displaystyle =\mu }$

（∵ $E\left(X\right)$ ， $V\left(X\right)$ ， $C\left(X,Y\right)$ の計算則）

標本の平均の期待値は母平均と一致する．

${\displaystyle E\left(T^2\right)=E\left(\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\left(X_i-M\right)}^2}\right)}$

${\displaystyle =E\left(\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\left(X_i-\mu +\mu -M\right)}^2}\right)}$

${\displaystyle =E\left(\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{i=1}^n\left\{{\left(X_i-\mu \right)}^2+2\left(X_i-\mu \right)\left(\mu -M\right)+{\left(\mu -M\right)}^2\right\}}\right)}$

${\displaystyle =E\left(\frac{1}{n}\left\{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\left(X_i-\mu \right)}^2}+2\left(\mu -M\right){\displaystyle \sum _{i=1}^n\left(X_i-\mu \right)}+{\left(\mu -M\right)}^2{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}1}\right\}\right)}$

${\displaystyle =E\left(\frac{1}{n}\left\{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\left(X_i-\mu \right)}^2}+2\left(\mu -M\right)\left\{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{X}_i}-{\displaystyle \sum _{i=1}^n\mu }\right\}+{\left(\mu -M\right)}^2{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}1}\right\}\right)}$

${\displaystyle =E\left(\frac{1}{n}\left\{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\left(X_i-\mu \right)}^2}+2\left(\mu -M\right)\left\{nM-n\mu \right\}+n{\left(\mu -M\right)}^2\right\}\right)}$

${\displaystyle =E\left(\frac{1}{n}\left\{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\left(X_i-\mu \right)}^2}-2n{\left(M-\mu \right)}^2+n{\left(M-\mu \right)}^2\right\}\right)}$

${\displaystyle =E\left(\frac{1}{n}\left\{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\left(X_i-\mu \right)}^2}-n{\left(M-\mu \right)}^2\right\}\right)}$

${\displaystyle =E\left(\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\left(X_i-\mu \right)}^2}-{\left(M-\mu \right)}^2\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}E{\left(X_i-\mu \right)}^2}-E{\left(M-\mu \right)}^2}$

${\displaystyle =\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\sigma }^2}-V\left(M\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{n}n{\sigma }^2-V\left(\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{X}_i}\right)}$

${\displaystyle ={\sigma }^2-{\left(\frac{1}{n}\right)}^{2}V\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{X}_i}\right)}$

${\displaystyle ={\sigma }^2-{\left(\frac{1}{n}\right)}^2{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}V\left(X_i\right)}}$

${\displaystyle ={\sigma }^2-{\left(\frac{1}{n}\right)}^2{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\sigma }^2}}$

${\displaystyle ={\sigma }^2-{\left(\frac{1}{n}\right)}^{2}n{\sigma }^2}$

${\displaystyle ={\sigma }^2-\frac{1}{n}{\sigma }^2}$

${\displaystyle =\frac{n-1}{n}{\sigma }^2}$

（∵ $E\left(X\right)$ ， $V\left(X\right)$ ， $C\left(X,Y\right)$ の計算則）

標本の分散の期待値は母分散 $\sigma$ の ${\displaystyle \frac{n-1}{n}}$ 倍になる．

　

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最終更新日： 2024年4月9日