$X$と$Y$が独立な確率変数の場合：$C\left(X,Y\right)=0$

独立な2つの確率変数 ${\displaystyle X}$，${\displaystyle Y}$ について

$C\left(X,Y\right)=0$ 　･･････(1)

が成り立つ．

■証明

確率関数 $f\left(x\right)$ ， $g\left(y\right)$ を以下のように定める．

${\displaystyle P\left(X=x_i\right)=f\left(x_i\right)}$

${\displaystyle P\left(Y=y_j\right)=g\left(y_j\right)}$

${\displaystyle P\left(X=x_{i}Y=y_j\right)=h\left(x_i,y_j\right)}$ ， $h\left(x,y\right)$

さらに

${\displaystyle {\mu }_x={\displaystyle \sum _{i=1}^m{x}_{i}f\left(x_i\right)}}$

${\displaystyle {\mu }_y={\displaystyle \sum _{j=1}^n{y}_{j}g\left(y_j\right)}}$

$X$，$Y$が独立であることより

${\displaystyle h\left(x_i,y_j\right)=f\left(x_i\right)g\left(y_j\right)}$

が成り立つ．この関係を利用して，以下のように証明をする．

${\displaystyle C\left(X,Y\right)}$ ${\displaystyle ={\displaystyle \sum _{i=1}^m{\displaystyle \sum _{j=1}^n\left(x_i-{\mu }_x\right)\left(y_j-{\mu }_y\right)h\left(x_i,y_j\right)}}}$

${\displaystyle ={\displaystyle \sum _{i=1}^m{\displaystyle \sum _{j=1}^n\left(x_i-{\mu }_x\right)\left(y_j-{\mu }_y\right)f\left(x_i\right)g\left(y_j\right)}}}$

${\displaystyle ={\displaystyle \sum _{i=1}^m{\displaystyle \sum _{j=1}^n\left(x_i-{\mu }_x\right)f\left(x_i\right)\left(y_j-{\mu }_y\right)g\left(y_j\right)}}}$

${\displaystyle ={\displaystyle \sum _{i=1}^m\left\{\left(x_i-{\mu }_x\right)f\left(x_i\right){\displaystyle \sum _{j=1}^n\left(y_j-{\mu }_y\right)g\left(y_j\right)}\right\}}}$

${\displaystyle =\left\{{\displaystyle \sum _{i=1}^m\left(x_i-{\mu }_x\right)f\left(x_i\right)}\right\}\left\{{\displaystyle \sum _{j=1}^n\left(y_j-{\mu }_y\right)g\left(y_j\right)}\right\}}$

${\displaystyle =\left[{\displaystyle \sum _{i=1}^m\left\{x_{i}f\left(x_i\right)-{\mu }_{x}f\left(x_i\right)\right\}}\right]\left[{\displaystyle \sum _{j=1}^n\left\{y_{j}g\left(y_j\right)-{\mu }_{y}g\left(y_j\right)\right\}}\right]}$

${\displaystyle =\left\{{\displaystyle \sum _{i=1}^m{x}_{i}f\left(x_i\right)}-{\mu }_x{\displaystyle \sum _{i=1}^{m}f\left(x_i\right)}\right\}\left\{{\displaystyle \sum _{j=1}^n{y}_{j}g\left(y_j\right)}-{\mu }_y{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}g\left(y_j\right)}\right\}}$

${\displaystyle =\left\{{\mu }_x-{\mu }_x\cdot 1\right\}\left\{{\mu }_y-{\mu }_y\cdot 1\right\}}$

$=0$

●別解

共分散の定義より

${\displaystyle C\left(X,Y\right)=E\left(XY\right)-E\left(X\right)E\left(Y\right)}$

${\displaystyle X}$，${\displaystyle Y}$ が独立より，${\displaystyle E\left(XY\right)=E\left(Y\right)E\left(Y\right)}$である（ここを参照）．よって

$C\left(X,Y\right)=0$

　

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最終更新日： 2024年2月24日