$C\left(aX,bY\right)=abC(X,Y)$

2つの確率変数 ${\displaystyle X}$，${\displaystyle Y}$ について

$C\left(aX,bY\right)=abC(X,Y)$　･･････(1)

が成り立つ．

■証明

共分散の定義より

${\displaystyle C\left(aX,bY\right)}$${\displaystyle =E\left(aX\cdot bY\right)-E\left(aX\right)E\left(aX\right)}$

∵ ${\displaystyle E\left(aX\right)=aE\left(X\right)}$　(ここを参照)

${\displaystyle =abE\left(XY\right)-aaE\left(X\right)E\left(X\right)}$

${\displaystyle =ab\left\{E\left(XY\right)-E\left(X\right)E\left(X\right)\right\}}$

${\displaystyle =abC(X,Y)}$

とする．

 

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　最終更新日： 2024年2月24日