$E\left(aX\right)=aE\left(X\right)$

確率変数 ${\displaystyle X}$ について

$E\left(aX\right)=aE\left(X\right)$

が成り立つ．

■証明

●離散型確率変数の場合

期待値の定義

${\displaystyle E\left(X\right)={\displaystyle \sum _{i=1}^n{x}_{i}f\left(x_i\right)}}$

より

${\displaystyle E\left(aX\right)={\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a{x}_{i}f\left(x_i\right)}}$${\displaystyle =a{\displaystyle \sum _{i=1}^n{x}_{i}f\left(x_i\right)}}$${\displaystyle =aE\left(X\right)}$

●連続型確率変数の場合

期待値の定義

${\displaystyle E\left(X\right)={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }{x}_{i}f\left(x_i\right)dx}}$

より

${\displaystyle E\left(aX\right)={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }a{x}_{i}f\left(x_i\right)dx}}$ ${\displaystyle =a{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }{x}_{i}f\left(x_i\right)dx}}$ ${\displaystyle =aE\left(X\right)}$

　

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最終更新日： 2026年3月30日