$V\left(X\right)=E\left(X^2\right)-{\left\{E\left(X\right)\right\}}^2$

確率変数 ${\displaystyle X}$ について

$V\left(X\right)=E\left(X^2\right)-{\left\{E\left(X\right)\right\}}^2$

が成り立つ．

■証明

まず

${\displaystyle \mu =E\left(X\right)}$　（ここでは，平均(期待値)を $\overline{x}$ ではなく $\mu$ を使うことにする．）

とする．

${\displaystyle V\left(X\right)=E\left({\left(X-\mu \right)}^2\right)}$

${\displaystyle =E\left(X^2-2\mu X+{\mu }^2\right)}$

∵${\displaystyle E\left(X+Y\right)=E\left(X\right)+E\left(Y\right)}$ 　（ここを参照）

${\displaystyle =E\left(X^2\right)+E\left(-2\mu X\right)+E\left({\mu }^2\right)}$

${\displaystyle =E\left(X^2\right)-2\mu E\left(X\right)+E\left({\mu }^2\right)}$

${\displaystyle =E\left(X^2\right)-2{\mu }^2+{\mu }^2}$

${\displaystyle =E\left(X^2\right)-{\mu }^2}$

${\displaystyle =E\left(X^2\right)-{\left\{E\left(X\right)\right\}}^2}$

　

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最終更新日： 2024年2月24日