$X$と$Y$が独立な確率変数の場合：$V\left(aX+bY\right)=a^{2}V\left(X\right)+b^{2}V\left(Y\right)$

独立な2つの確率変数 ${\displaystyle X}$，${\displaystyle Y}$ について

${\displaystyle V\left(aX+bY\right)=a^{2}V\left(X\right)+b^{2}V\left(Y\right)}$

が成り立つ．

■証明

2つの確率変数 ${\displaystyle X}$，${\displaystyle Y}$ について

${\displaystyle V\left(aX+bY\right)}$${\displaystyle =a^{2}V\left(X\right)+2abC\left(X,Y\right)+b^{2}V\left(Y\right)}$

が成り立つ．（ここを参照）

${\displaystyle X}$，${\displaystyle Y}$ が独立な場合

${\displaystyle C\left(X,Y\right)=0}$　（ここを参照 ）

が成り立つ．よって

${\displaystyle V\left(aX+bY\right)=a^{2}V\left(X\right)+b^{2}V\left(Y\right)}$

となる．

　

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最終更新日： 2024年4月9日