標準化

${\displaystyle n}$個のデータ ${\displaystyle x_1,x_2,\cdots ,x_n}$ があり，その平均値が ${\displaystyle \overline{x}}$，標準偏差が ${\displaystyle {\sigma }_x}$ のとき

${\displaystyle z_i=\frac{x_i-\overline{x}}{{\sigma }_x}}$ 　

の式によってデータの値${\displaystyle x_i}$ を${\displaystyle z_i}$ に変換することをデータの標準化という．

標準化された${\displaystyle n}$個のデータ${\displaystyle z_1,z_2,\cdots ,z_n}$の平均値${\displaystyle \overline{z}}$ はゼロ，標準偏差${\displaystyle {\sigma }_z}$ は${\displaystyle 1}$ になる．

■${\displaystyle \overline{z}}$，${\displaystyle {\sigma }_z}$の計算

${\displaystyle \overline{z}=\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{z}_i}}$

${\displaystyle =\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{i=1}^n\frac{x_i-\overline{x}}{\sigma }}}$

${\displaystyle =\frac{1}{n}·\frac{1}{\sigma }{\displaystyle \sum _{i=1}^n\left(x_i-\overline{x}\right)}}$

${\displaystyle =\frac{1}{n\sigma }\left(\sum _{i=1}^n{x}_i-\sum _{i=1}^n\overline{x}\right)}$

${\displaystyle \overline{x}=\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{x}_i}}$ より

${\displaystyle =\frac{1}{n\sigma }\left(n\overline{x}-n\overline{x}\right)}$

${\displaystyle =0}$

 

${\displaystyle {\sigma }_z^2=\frac{1}{n}{{\displaystyle \sum _{i=1}^n\left(z_i-\overline{z}\right)}}^2=\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{z}_i^2}}$

${\displaystyle =\frac{1}{n}{{\displaystyle \sum _{i=1}^n\left(\frac{x_i-\overline{x}}{{\sigma }_x^2}\right)}}^2}$

${\displaystyle =\frac{1}{n{\sigma }_x^2}{{\displaystyle \sum _{i=1}^n\left(x_i-\overline{x}\right)}}^2}$

${\displaystyle =\frac{1}{{\sigma }_x^2}·\frac{1}{n}{{\displaystyle \sum _{i=1}^n\left(x_i-\overline{x}\right)}}^2}$

${\displaystyle {\sigma }_x^2=\frac{1}{n}{{\displaystyle \sum _{i=1}^n\left(x_i-\overline{x}\right)}}^2}$ より

${\displaystyle =\frac{1}{{\sigma }_x^2}·{\sigma }_x^2}$

${\displaystyle =1}$

　

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最終更新日： 2024年3月5日